Courbe 2D : analyse spectrale (FFT)

Introduction

L'utilisateur peut décomposer en séries de Fourier tous les résultats qui ont été représentés à travers une courbe 2D, permettant ainsi de réaliser une analyse spectrale des quantités physiques. Dans Flux, les résultats spectraux sont obtenus par la méthode de la transformée de Fourier rapide (FFT – Fast Fourier Transform) et sont graphiquement représentés à travers une nouvelle courbe 2D.

Fonctionnement

L'analyse spectrale dans Flux s'effectue de la manière suivante :


Phase	Description
1	L'utilisateur applique la commande Analyse spectrale (FFT) à une entité de type Courbe 2D
2	La fonction à analyser est extrapolée sur une période entière en utilisant les propriétés de symétrie adéquates : voir Extrapolation de la courbe originale
3	La fonction extrapolée est décomposée en séries de Fourier par la méthode de transformation de Fourier rapide (FFT), puis le spectre qui représente les caractéristiques (amplitude, phase et rang) des différentes harmoniques est calculé : voir Principes de la FFT dans Flux
4	Deux nouvelles entités Courbe 2D sont créées : la courbe de la fonction originale extrapolée et le spectre correspondant qui a été calculé

Principes de la FFT dans Flux

A partir d'une courbe représentant la fonction f(x), les coefficients de la série de Fourier sont exprimés - pour la forme sinus-cosinus - comme suit :

et

où :

T est la période de la fonction f(x)
k est le rang de l'harmonique considérée, avec k = [ 0 ÷ N ] (voir plus bas)

Les coefficients a_k et b_k de la série de Fourier dans sa forme sinus-cosinus peuvent être transformés dans la forme plus pratique amplitude-phase, qui est utilisée par Flux pour fournir les résultats spectraux :

et

où D_k et φ_k sont l'amplitude et la phase de la k-ième harmonique, respectivement.

La fonction originale f(x) peut donc être exprimée ou recomposée à travers ces coefficients de la série de Fourier, quelle que soit la forme (sinus-cosinus or amplitude-phase) utilisée, de la manière suivante :

où N = 2 ^n-1-1 est le nombre maximal d'harmoniques, étant n l'entier supérieur de log₂M avec M le nombre d'échantillons équidistants de la fonction f(x).

Dans l'équation ci-dessus, trois contributions peuvent être identifiées :

le terme constant a₀=D₀, appelé composante continue, qui correspond à la valeur moyenne de la fonction f(x) sur la période T ;
la fondamentale (ou première harmonique) caractérisée par les coefficients a₁, b₁ ou D₁, φ₁, dont la période est égale à T ;
les autres harmoniques de rang k >1, dont les périodes sont des fractions entières de la période fondamentale et qui sont caractérisées par les coefficients de Fourier a_k, b_k ou D_k, φ_k.

Remarque :

Le nombre maximal N d'harmoniques pour un spectre calculé par la FFT de Flux dépends du nombre d'échantillons de la fonction f(x), comme indiqué dans la formule ci-dessus N = 2 ^n-1-1, où l'existence du terme “-1“ est due à l'harmonique du rang 0, c'est-à-dire la composante continue du signal.

Une option spécifique dans la boîte de dialogue de Flux permet d'afficher ou pas dans les résultats spectraux les caractéristiques de cette harmonique de rang 0.

Mode décibel

En plus du mode linéaire classique pour l'affichage des amplitudes D_k, Flux fournit à l'utilisateur la possibilité de représenter ces valeurs en mode décibel, qui a l'avantage d'intensifier exponentiellement les grandeurs et donc de mettre en évidence d'éventuelles différences entre les valeurs des amplitudes qui ne seraient pas perceptibles en mode linéaire.

Pour rappel, le décibel est une unité de mesure logarithmique qui exprime l'amplitude d'une grandeur physique par rapport à une valeur de référence de la même grandeur. Les amplitudes D_k en mode décibel sont donc des valeurs sans dimension qui sont calculées par la formule suivante :

où

D_k est l'amplitude de la k-ième harmonique exprimée en mode linéaire et
D_ref est l'amplitude de référence, correspondante à 0 dB. Flux fournit deux possibilités pour fixer cette valeur de référence :
- (valeur par défaut) soit en définissant la valeur de l'amplitude (en dB) de la première harmonique, c'est-à-dire en fixant le résultat de cette expression à une valeur spécifiée (100 par défaut) ;
- soit en définissant en mode linéaire la valeur de référence D_ref pour 0 dB : par défaut fixée à 1.

Réaliser une analyse spectrale (FFT) dans Flux

Pour réaliser une analyse spectrale (FFT) d'une grandeur, c'est-à-dire pour tracer la fonction extrapolée de la courbe 2D originale et afficher son spectre correspondant, l'utilisateur Flux doit suivre la procédure ci-après :


Étape	Action
1	Dans le menu Courbe > Courbe2D (…), cliquer sur Analyse spectrale (FFT)
2	Dans la boîte de sélection, choisir l'entité Courbe 2D sur laquelle la FFT sera calculée
3	Dans la boîte de dialogue Analyse spectrale ( FFT) qui apparaît : choisir la partie de période qui correspond à l'intervalle étudié si le choix est différent de "Période entière", choisir le type de symétrie à appliquer pour l'extrapolation de la courbe originale entrer le nombre d'harmoniques à calculer choisir si afficher ou pas la composante continue modifier (si souhaité) les noms proposés pour la fonction extrapolée, qui sera générée, et pour la courbe 2D qui va contenir les résultats spectraux dans l'onglet "Mode décibel", modifier (si souhaité) les options par défaut qui seront utilisées pour représenter l'amplitude des harmoniques en dB
→	Deux nouvelles courbes 2D sont créées et affichées dans les feuilles correspondantes : une courbe 2D pour la fonction extrapolée et une courbe 2D pour le spectre. Ces deux nouvelles courbes 2D sont aussi stockées dans l'arbre des données.

Extrapolation de la courbe originale

Puisque l'analyse spectrale nécessite d'être réalisée sur une période entière, une extrapolation de la courbe originale est demandée si l'intervalle considéré correspond à une portion de la période entière. Cela signifie que la courbe originale est recopiée de façon répétitive à intervalles réguliers pour atteindre la représentation sur une période entière.

Plusieurs types d'extrapolation sont fournis par Flux pour satisfaire les différents besoins qui dépendent de l'intervalle initial de la courbe originale. Toutes les options disponibles sont résumées dans le tableau ci-dessous et expliquées en détail dans les exemples qui suivent plus bas.


Part de la période représentée	Type d'extrapolation
période entière	identité
demi-période	symétrie normale symétrie paire symétrie impaire
quart de période	symétrie paire symétrie impaire

Exemple (1) : extrapolation sur une demi-période

Les extrapolations possibles pour une courbe représentée sur une demi-période sont présentées dans le tableau ci-dessous.


Type d'extrapolation	Formule	Aperçu
symétrie normale	f(T/2+t)=-f(t)
symétrie paire	f(T/2+t)=f(T/2-t)
symétrie impaire	f(T/2+t)=-f(T/2-t)

Exemple (2) : extrapolation sur quart de période

Les extrapolations possibles pour une courbe représentée sur un quart de période sont présentées dans le tableau ci-dessous.


Type d'extrapolation	Formule	Aperçu
symétrie paire	f(T/4+t)=f(T/4-t), f(T/2+t)=-f(t)
symétrie impaire	f(T/4+t)=-f(T/4-t), f(T/2+t)=f(t)