Courbe 2D : Analyse spectrale (FFT)

Introduction

L'utilisateur peut représenter le résultat de la décomposition en séries de Fourier de fonctions de grandeurs spatiales ou de paramètres entrée/sortie.

Ces résultats sont obtenus à partir de la transformée de Fourier rapide (FFT – Fast Fourier Transform).

Fonctionnement

Les courbes des spectres sont générées de la façon suivante :


Phase	Description
1	L'utilisateur applique la commande Analyse spectrale (FFT) à une courbe élémentaire de l'entité Courbe 2D.
2	La fonction à analyser est reconstituée sur une période entière en utilisant les propriétés de symétrie adéquates
3	La fonction reconstituée est décomposée en séries de Fourier par la méthode de transformation de Fourier rapide. Le spectre qui représente les caractéristiques des différentes harmoniques (amplitude, phase et rang) est affiché.
4	Deux nouvelles entités Courbe 2D sont créées : la courbe représentative de la fonction originale reconstituée et le spectre calculé correspondant.

Principe

L'analyse spectrale est réalisée en deux étapes :

d'abord, la fonction d'une grandeur spatiale ou d'un paramètre entrée/sortie est reconstituée sur une période entière et la courbe correspondante est tracée.
ensuite, le spectre est généré avec la méthode de la transformée de Fourier rapide appliquée à la fonction reconstituée.

Soit une courbe représentant une fonction f, le calcul des coefficients de la transformée de Fourier est réalisé comme suit :

;

où :

T est la période du signal fondamental
k est le rang de l'harmonique considérée, k = [0,n]

Cette analyse utilise l'algorithme FFT qui est basé sur un échantillonnage à pas constant en 2ⁿ⁺¹ points, 2^n-1 -1 étant le nombre d'harmoniques.

Fonction périodique : rappel

Une fonction périodique

peut être développée en série de Fourier :
comporte 3 éléments :

un terme constant a₀, appelé composante continue
une composante fondamentale caractérisée par les valeurs a₁ et b₁,
des harmoniques de rang n >1 ( fractions entières de la période fondamentale ) caractérisées par les valeurs des autres coefficients de Fourier a_n et b_n.

Reconstitution de la courbe

L'analyse spectrale est réalisée sur une période entière. Si l'intervalle étudié correspond à une portion de période, la courbe est reconstituée en considérant une période entière.

La reconstitution de la courbe sur une période entière est réalisée en recopiant de façon répétitive une portion de la période à intervalles réguliers.

Les types de reconstitution proposés par Flux en fonction de l'intervalle initial considéré sont présentés dans le tableau ci-dessous et expliqués en détail dans les tableaux ci-après.


Portion de la période représentée	Type de reconstitution proposée
période entière	identité
demi-période	symétrie normale symétrie paire symétrie impaire
quart de période	symétrie paire symétrie impaire

Exemple (1)

La reconstitution d'une courbe à partir d'une demi-période est présentée dans le tableau ci-dessous.


Type de reconstitution	Formule	Aperçu
symétrie normale	f(T/2+t)=-f(t)
symétrie paire	f(T/2+t)=f(T/2-t)
symétrie impaire	f(T/2+t)=-f(T/2-t)

Exemple (2)

La reconstitution d'une courbe à partir d'un quart de période est présentée dans le tableau ci-dessous.


Type	Formule	Image
symétrie paire	f(T/4+t)=f(T/4-t), f(T/2+t)=-f(t)
symétrie impaire	f(T/4+t)=-f(T/4-t), f(T/2+t)=f(t)

Mode décibel

Le spectre d'amplitudes est présenté en mode linéaire et en mode décibel. Le mode décibel permet d'intensifier exponentiellement les grandeurs et de voir des différences non perceptibles en mode linéaire.

Rappels : Le décibel est une unité logarithmique de mesure qui exprime la grandeur physique par rapport à la valeur de référence de même unité. C'est une grandeur sans dimension.

L'amplitude en décibel est calculée par l'équation suivante : ,

où

A_n est l'amplitude mesurée correspondant à l'harmonique n,

A₀ est l'amplitude de référence correspondant à 0 dB

Pour travailler en mode décibel, Flux propose deux possibilités pour fixer la valeur de référence :

soit définir la valeur de l'amplitude en décibel pour l'harmonique de rang 1, c'est-à-dire la partie de l'équation (par défaut est fixée à 100),
soit définir la valeur de référence A₀ pour 0 dB (par défaut A₀ est fixée à 1).

Afficher ou non la composante continue

Cette option permet à l'utilisateur d'afficher la composante spectrale correspondant à l'harmonique de rang 0.

Faire l'analyse spectrale

Pour faire l'analyse spectrale, c'est-à-dire tracer la courbe reconstituée d'une courbe 2D existante (fonction de grandeurs spatiales ou de paramètres entrée/sortie) et afficher le spectre correspondant, suivre les instructions suivantes :


Etape	Action
1	Dans le menu Courbe > Courbe2D (…) : cliquer sur Analyse spectrale (FFT)
2	Dans la boîte de sélection : choisir l'entité Courbe 2D
3	Dans la boîte Analyse spectrale ( FFT) : choisir la courbe à analyser choisir le type de période auquel correspond l'intervalle étudié si la période n'est pas entière, choisir le type de symétrie à appliquer pour la reconstitution entrer le nombre d'harmoniques à traiter choisir afficher ou non la composante continue (optionnel) modifier l'échelle du spectre en mode décibel choisir le type de représentation des valeurs des harmoniques choisir la valeur de l'amplitude du spectre choisir le nom de la courbe reconstituée choisir le nom de l'ensemble des spectres
→	Deux courbes 2D sont créées et affichées dans les feuilles correspondantes : une courbe 2D pour la courbe reconstituée et une courbe 2D pour le spectre Deux nouvelles courbes 2D apparaissent dans l'arbre des données.