Matériau doux isotrope : hystérésis par modèles de Preisach

Introduction

Ce chapitre traite de la création d'un matériau avec une propriété B(H) de type :

• Hystérétique isotrope, modèle de Preisach décrit par 4 paramètres d'un cycle typique et
• Hystérétique isotrope, modèle de Preisach identifié par N triplets

dans un projet Flux.

Les matériaux possédant ce type de propriété B(H) de type Preisach permettent de prendre en compte les phénomènes d'hystérésis ferromagnétiques pendant la résolution du projet. Par conséquent, ils permettent une évaluation directe ou à priori des pertes fer dans le matériau ferromagnétique, contrairement aux approches dites à posteriori comme les modèles Loss Surface et Bertotti.

Le modèle de Preisach dans Flux

Le modèle de Preisach est un outil mathématique utilisé pour représenter des modèles physiques avec un comportement hystérétique. Dans ces modèles, la quantité de sortie n'est pas seulement fonction de l'entrée : son état à un instant donné dépend également de l'historique des entrées et sorties précédentes. La relation non linéaire B(H) entre l'induction magnétique B dans un matériau ferromagnétique soumis à un champ magnétique variable dans le temps H(t) est un exemple de modèle hystérétique dont le comportement peut être représenté par un modèle de type Preisach.

Les modèles de type Preisach peuvent être interprétés en termes d'entités élémentaires appelées hystérons. Dans le cadre de l'hystérésis ferromagnétique, chaque hystéron peut être considéré comme un « relais magnétique » γ_α,β(H) qui ne peut présenter que deux états d'aimantation en fonction de l'intensité du champ magnétique d'entrée H (Figure 1 (a)). Pour une entrée H > α, l'hystéron passe à un état magnétique γ_α,β(H) = +1. D'autre part, pour H < β l'état de l'hystéron passe à γ_α,β(H) = -1. De plus, chaque hystéron peut être associé à un point (α,β) sur un demi-plan cartésien donné par α≥β (Figure 1(b)).

Par conséquent, le comportement hystérétique B(H) d'un matériau magnétique donné résulte de la superposition des effets d'une distribution continue d'hystérons exprimée par l'intégrale double suivante :

B(H) = ∫∫_α≥β [ P(α,β) γ_α,β(H) ] dα dβ.

Dans l'expression précédente, la fonction P(α,β) (appelée fonction de densité de Preisach) est une propriété du matériau ferromagnétique et doit être identifiée à partir de mesures magnétiques expérimentales.

Flux utilise un modèle d'hystérésis vectoriel optimisé de type Preisach qui simplifie grandement la création de matériaux ferromagnétiques dans un projet. En effet, seules les mesures magnétiques effectuées sur un cycle d'hystérésis typique sont nécessaires à l'identification du modèle pour un matériau donné. Deux outils d'identification du modèle sont disponibles pour aider l'utilisateur en cette étape préliminaire.

De plus, le modèle de type Preisach disponible dans Flux s'appuie sur une fonction d'Everett pour éviter l'évaluation d'une intégrale double plusieurs fois à chaque pas de temps, ce qui permet de réduire les temps de calcul.

Pour une présentation détaillée sur le modèle de type Preisach implémenté dans Flux, veuillez considérer les références disponibles dans la section Références bibliographiques à la fin de ce chapitre.

Création d'un matériau hystérétique de type Preisach dans Flux

Le modèle de type Preisach disponible dans Flux peut être assigné à un matériau soit pendant sa création soit pendant sa modification. Plus précisément, l'utilisateur doit régler la propriété B(H) du matériau au sous-type approprié pour représenter son comportement hystérétique et renseigner les paramètres pour le modèle de Preisach.

La procédure est la suivante :

• D'abord, créer ou éditer un matériau existant dans un projet Flux. Deux méthodes sont disponibles pour réaliser ces actions :
  1. Dans le menu Physique, en sélectionnant l'option Matériau et en faisant ensuite Nouveau ou Éditer ;
  2. Dans l'arbre de Flux dans le volet à gauche de la vue principale, dans la section Physique en double-cliquant sur Matériau pour en créer un nouveau ou en double cliquant sur un matériau déjà existant pour l'éditer.
  Selon le cas, Flux affichera soit la fenêtre Créer Matériau soit Éditer Matériau.
• Quelle que soit la fenêtre, activer l'option Propriété Magnétique dans l'onglet B(H).
• Ensuite, choisir un des deux modèles disponibles dans le menu déroulant :
  • Hystérétique isotrope, modèle de Preisach décrit par 4 paramètres d'un cycle typique et
  • Hystérétique isotrope, modèle de Preisach identifié par N triplets.

D'autre part, dans le cas du matériau Hystérétique isotrope, modèle de Preisach identifié par N triplets, l'utilisateur doit renseigner en revanche une table contenant N triplets (a_i , b_i , c_i) qui se mesurent respectivement en teslas, A/m et A/m. Les triplets (a_i , b_i , c_i) correspondent aux paramètres de l'équation suivante :

Disponibilité et limitations

Le modèle de type Preisach pour un comportement hystérétique de la loi B(H) d'un matériau magnétique est disponible uniquement pour les applications magnétiques transitoires de Flux 2D et Flux 3D.

De plus, un matériau de type Preisach ne peut être assigné qu'à des régions de type magnétique non conductrice ou à des régions de type conducteur massif. Dans le cas de régions de type conducteur massif, le matériau devra également avoir une propriété J(E) afin que, dans ces conditions, le modèle de Preisach puisse également tenir compte des effets hystérétiques dynamiques, qui entraînent une augmentation des pertes aux fréquences plus élevées.

Exemple d'application

Considérons le problème TEAM 32 montré dans la Figure 2 ci-dessous. Le dispositif est composé d'une double excitation et d'un noyau magnétique composé de trois branches, dont le comportement hystérétique du matériau nous souhaitons investiguer à l'aide de Flux 3D.

Les sources de tension qui alimentent le circuit imposent une tension sinusoïdale à 10 Hz avec une amplitude de 14.5 V et un déphasage de 90° entre les deux sources. Cette alimentation permet de créer une induction magnétique tournante à certains endroits du dispositif (par exemple, en position C1 de la Figure 2). Le calcul numérique de cette induction magnétique qui varie avec le temps est souvent utilisé pour évaluer les performances du modèle de Preisach. Pour une description complète de cet exemple spécifique (avec les dimensions géométriques, ainsi que les données complémentaire du circuit et des matériaux), veuillez vous référer au site TEAM problem repository maintenu par l'International Compumag Society.

Dans Flux 3D, le circuit magnétique peut être représenté par une région de type magnétique non conductrice. Afin de prendre en compte son comportement hystérétique dans une application Magnétique Transitoire, un matériau avec une propriété B(H) de type Hystérétique isotrope, modèle de Preisach identifié par N triplets doit être assigné à la région. Avec l'aide de l'outil d'identification fourni avec Flux, le matériau du dispositif utilisé dans ce problème TEAM 32 peut être décrit avec les triplets (a_i , b_i , c_i) pour une identification avec N = 2 :

Les deux bobines d'excitation sont représentées par des bobines non maillées. Elles sont alimentées par des sources de tension reliées à leurs composants de couplage dans le circuit électrique. Figure 3 montre la géométrie dans Flux.

Après avoir résolu le projet, le caractère rotatif de l'induction magnétique peut être vérifié à l'aide de capteurs placés au point C1 (illustré par la Figure 2). Le comportement hystérétique des champs B et H peut également être vérifié à l'aide d'un capteur placé à la position la plus centrale du dispositif, c'est-à-dire à l'origine du système de coordonnées illustré dans la Figure 2. Ces résultats sont disponibles dans Figure 4.

Un capteur peut également être utilisé pour calculer la puissance magnétique totale absorbée par le noyau magnétique du dispositif à un pas de temps donné. Dans ce cas, l'utilisateur doit créer un capteur de type Prédéfini, choisir Puissance Magnétique et effectuer le calcul en utilisant la région volumique magnétique non conductrice représentant le circuit magnétique comme domaine de calcul. Les résultats sont montrés dans la Figure 5 ci-dessous.

Références bibliographiques