Problèmes de convergence
Introduction
La méthode de NR est actuellement la méthode la plus utilisée, mais sa convergence n'est pas toujours assurée, particulièrement en 3D.
Des solutions sont proposées (en 2D et en 3D) pour améliorer la convergence dans certains cas particuliers.
Conditions de convergence
La méthode de NR converge rapidement quand :
- la fonction R(X) vérifie certaines conditions de monotonie (1)
- et que l'on part d'un point initial proche de la solution (2)
(1) Conditions de monotonie
La dérivée seconde doit être différente de zéro (c'est à dire pas de points d'inflexion sur la caractéristique B(H)).
(2) Point initial
La méthode de NR est très efficace lorsque l'on part d'un point initial proche de la solution. Si la valeur de départ est trop éloignée du vrai zéro, la méthode de NR peut entrer en boucle infinie sans produire d'approximation améliorée.
Un contrôle du nombre d'itérations est toujours nécessaire.
Méthode de sous relaxation (3D)
Il existe des techniques numériques dites de « sous relaxation » qui permettent d'améliorer la convergence du procédé. Un coefficient supplémentaire (coefficient de sous relaxation) est introduit dans l'équation du vecteur solution :
[Xi+1] = [Xi] + α[ΔXi]
où :
α est le coefficient de sous relaxation (α ∈ ]0,1])
Ce coefficient permet de faire converger l'algorithme avec les formulations en potentiel scalaire magnétique en non linéaire (formulation 3D automatique).