Introduction / exemples

Définition

Un système est dit non linéaire quand une des propriétés du système est fonction de la variable (inconnue du système). Deux exemples sont présentés dans les blocs suivants.

Exemple 1 (thermique)

L'équation résolue par la méthode des éléments finis dans une application Thermique Permanent est l'équation suivante:

où :

  • [k] est le tenseur de conductivité thermique
  • q est la densité volumique de puissance thermique source
  • T est la température (variable d'état / inconnue du système)

Si la conductivité thermique k est fonction de la température T, le système est dit non linéaire.

Exemple 2 (magnétique)

L'équation résolue par la méthode des éléments finis dans une application Magnéto Statique peut s'écrire (modèle scalaire) :

où :

  • [μ] est le tenseur de perméabilité magnétique du milieu
  • ϕ est un potentiel scalaire magnétique

  • est un terme correspondant aux sources

    (champ source ou potentiel vecteur électrique)

Si la perméabilité μ est fonction du champ magnétique H et donc de la variable ϕ, le système est dit non linéaire.

Exemple 2 bis (magnétique)

L'équation résolue par la méthode des éléments finis dans une application Magnéto Statique peut s'écrire (modèle vecteur) :

où :

  • [ν] est le tenseur de réluctivité magnétique du milieu
  • est la densité de courant source
  • est le potentiel vecteur (variable d'état / inconnue du système)

Si la réluctivité ν est fonction de l'induction magnétique B et donc de la variable A, le système est dit non linéaire.

Les différentes possibilités

Dans les applications Flux, un système est dit non linéaire lorsque :

  • une loi de comportement (équations constitutives) est non linéaire …

    • loi B(H) non linéaire :

      (perméabilité magnétique μ fonction du champ magnétique H)

    • loi J(E) non linéaire :

      (conductivité électrique σ fonction du champ électrique E)

    • loi D(E) non linéaire :

      (permittivité électrique ε fonction du champ électrique E)

  • une propriété thermique dépend de la température …
    • conductivité thermique k fonction de T
    • capacité calorifique volumique fonction de T
    • coefficients d'échange fonction de T

… dans Flux

Un aperçu des modèles proposés dans Flux est présenté dans les deux tableaux ci-dessous :
  • Modèles pour les lois de comportement (électromagnétiques)
    B(H) J(E) D(E)
    Matériaux doux Matériaux durs
    Linéaire Linéaire Linéaire

    Résistivité constante

    		 Linéaire
    Linéaire complexe

    Linéaire complexe

    Linéaire avec pertes
    Non linéaire

    Saturation :

    • analytique
    • analytique + coude
    • spline

    Rayleigh

    Désaimantation :

    • analytique
    • analytique + coude
    • spline
    		 Supraconducteur
  • Modèles pour les propriétés thermiques
k(T) ρ Cp(T)
constante constante
fonction linéaire de T fonction linéaire de T
fonction exponentielle de T fonction exponentielle de T
somme d'une gaussienne de T et d'une constante
somme d'une gaussienne de T et d'une exponentielle de T

Ces modèles sont décrits dans le chapitre Matériaux : principes.