# 随机响应疲劳分析

## 功率谱密度 (PSD) 力矩

${m}_{n}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\sum _{k\text{ }=\text{ }1}^{N}{f}_{k}^{n}{G}_{k}\delta f$

${f}_{k}^{}$

${G}_{k}$

## 计算应力范围出现概率

$\text{P}\left(\Delta {S}_{i}\right)$ $\left(\Delta {S}_{i}\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}\delta S/2\right)$ $\left(\Delta {S}_{i}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\delta S/2\right)$ 之间的应力范围出现的概率为：

$P\left(\Delta {S}_{i}\right)\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}p\delta {S}_{i}$

## 概率密度函数（周期数与应力范围的概率密度）

DIRLIK
DIRLIK 提出了用于确定概率密度函数的封闭形式的解，即：
$p\left(S\right)\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{\frac{{D}_{1}}{Q}{e}^{\frac{-Z}{Q}}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{{D}_{2}Z}{{R}_{2}}{e}^{\frac{-{Z}^{2}}{2{R}^{2}}}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}{D}_{3}Ze\frac{-{Z}^{2}}{2}}{2\sqrt{{m}_{0}}}$

${D}_{1}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{2\left({x}_{m}\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{\gamma }^{2}\right)}{1\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}{\gamma }^{2}}$
${D}_{2}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{1\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}\gamma \text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{D}_{1}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}{D}_{1}^{2}}{1\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}R}$
${D}_{3}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}1\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{D}_{1}\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{D}_{2}$
$Z\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{S}{2\sqrt{{m}_{0}}}$
$Q\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{1.25\left(\gamma \text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{D}_{3}\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{D}_{2}R\right)}{{D}_{1}}$
$R\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{\gamma \text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{x}_{m}\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{D}_{1}^{2}}{1\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}\gamma \text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{D}_{1}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}{D}_{1}^{2}}$
${x}_{m}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{{m}_{1}}{{m}_{0}}\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{4}}}$
$\gamma \text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{{m}_{2}}{\sqrt{{m}_{0}{m}_{4}}}$

$S$

LALANNE
LALANNE 随机疲劳损伤模型将概率密度函数描述为：
$p\left(S\right)\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{\sqrt{{m}_{0}}}\text{\hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{1\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{\gamma }^{2}}}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-{S}^{2}}{8{m}_{0}\left(1\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{\gamma }^{2}\right)}}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{{S}_{\gamma }}{4\sqrt{{m}_{0}}}\left(1\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}erf\left(\frac{S\gamma }{2\sqrt{2{m}_{0}\left(1\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}{\gamma }^{2}\right)}}\right)\right)$

$\gamma \text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\frac{{m}_{2}}{\sqrt{{m}_{0}{m}_{4}}}$

$S$

NARROW

$p\left(S\right)\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\left(\frac{S}{4{m}_{0}}{e}^{-\left(\frac{{S}^{2}}{8{m}_{0}}\right)}\right)$

$S$

THREE
Steinberg 三波段随机疲劳损伤模型使用以下概率函数：
$P\left(S\right)\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\left\{\begin{array}{c}0.683\text{ }at\text{ }2\sqrt{{m}_{0}}\\ 0.271\text{ }at\text{ }4\sqrt{{m}_{0}}\\ 0.043\text{ }at\text{ }6\sqrt{{m}_{0}}\end{array}\right\$

$S$

## 上曲面应力范围因子

RMS 应力是由随机响应子工况输出的。目标应力范围受限于应力范围的上限。在疲劳损伤计算中，将不考虑任何超出上限的应力。

## 计算应力范围出现概率

DIRLIK, LALANNE, NARROW
$\text{P}\left({S}_{i}\right)$ $\left(\Delta {S}_{i}\text{\hspace{0.17em}}-\text{\hspace{0.17em}}\delta S/2\right)$ $\left(\Delta {S}_{i}\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\delta S/2\right)$ 之间的应力范围出现的概率为：
$P\left({S}_{i}\right)\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}{p}_{i}\left({S}_{i}\right)\delta S$
THREE

## 选择损伤模型

1. 应力的 PSD 力矩用于计算相应的力矩，这些力矩用于确定应力范围的概率密度函数。
2. DIRLIK 和 LALANNE 模型在更广泛的应力范围谱系分布中产生概率。因此，当输入的随机信号由多个频率的各种应力范围组成时，应使用这些模型。如果使用 DIRLIK 和 LALANNE，概率密度函数中的信息能更好地捕捉到应力范围分布的更广范围。
3. NARROW 模型适用于应力范围预计与特定应力范围分布的高概率密切相关的随机信号。因此，如果您知道输入的随机数据没有广泛的应力范围分布，而是主要集中在某个特定的应力范围，则应该选择 NARROW。这个模型预计最高的应力范围概率位于这个特定的应力范围或其周围。
4. THREE 模型与 NARROW 模型相同，只是它预计随机信号的分布除了包含与 1*RMS 的关联外，还包含与 2*RMS 和 3*RMS 的关联（尽管关联较小）。因此，如果您的输入随机数据主要集中在 1*RMS 的应力范围内，其次是 2*RMS 和 3*RMS，那么您应该选择 THREE。

## 峰值数和零交叉数

NARROW, THREE

${n}_{zcross}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{0}}}$

${m}_{n}$

DIRLIK, LALANNE

${n}_{peaks}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\sqrt{\frac{{m}_{4}}{{m}_{2}}}$

${m}_{n}$

## 周期数

${N}_{T}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}{n}_{zcross}T$

T

DIRLIK, LALANNE

${N}_{T}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}{n}_{peaks}T$

T

${N}_{i}\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}P\left(\Delta {S}_{i}\right){N}_{T}$

## 疲劳寿命和损伤

${N}_{f}\left({S}_{i}\right)\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}{\left(\frac{{S}_{i}}{{S}_{f}}\right)}^{\frac{1}{b}}$

$D\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}\sum _{i\text{\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}}1}^{N}\frac{{N}_{i}}{{N}_{f}\left({S}_{i}\right)}$