Réduction du domaine d'étude : symétries et périodicités

Idée de base : réduire la taille du domaine d'étude

Dans la plupart des cas, l'analyse préalable du dispositif met en évidence la présence de motifs répétitifs (périodicités) ou de plans de symétrie.

Dans ces conditions, il est possible de réduire le domaine d'étude de la façon suivante :

• représentation d'une portion réduite du dispositif
• affectation de conditions aux limites appropriées sur les frontières (conditions de périodicité ou conditions de symétrie).

Intérêt

La réduction de la zone modélisée a pour conséquences :

• une simplification de la description géométrique
• une réduction de la taille du problème élément finis (et donc de l'espace disque nécessaire pour le stockage du fichier).

L'intérêt d'une réduction de la taille du problème est la réduction du temps de calcul. Le temps de calcul est approximativement proportionnel au carré du nombre d'inconnues.

Exemple :

Si un problème comporte N inconnues, et qu'après réduction de l'espace de travail il en comporte N/2, le temps de calcul est globalement réduit d'un facteur 4.

Réduction du domaine d'étude et conditions aux limites

Il est possible de simplifier le dispositif modélisé s'il présente des périodicités et/ou symétries à la fois géométriques et physiques.

En d'autres termes :

Il est possible de simplifier le dispositif modélisé, lorsque des conditions spécifiques sur la variable d'état (potentiel) permettent la représentation d'une portion réduite du dispositif.

Les conditions aux limites sont des notions « physiques ». Ces notions sont brièvement illustrées à travers un exemple magnétique (application de type magnétostatique, magnétique transitoire ou magnétoharmonique).

Exemple : présentation

Le dispositif étudié est un dispositif de sustentation magnétique. Il est constitué d'un ensemble de bobines, d'une culasse de retour de flux et d'une plaque.

Analyse du problème :

Ce dispositif se présente sous la forme d'un ensemble de motifs linéaires répétitifs : une suite de bobines « en opposition ».

• d'un point de vue géométrique, le motif de base comprend une seule bobine
• d'un point de vue physique, le motif de base comprend deux bobines « en opposition ».

Exemple : les différents domaines d'étude

Les découpages autorisés dépendent des différents types de conditions aux limites affectées sur les frontières.

Les différents domaines d'étude envisageables sont représentés sur les figures ci-après. Les conditions aux limites affectées sur les frontières dans ces différentes configurations sont explicitées dans les paragraphes suivants.