Méthode de calcul des forces surfaciques et volumiques

Le calcul des forces est réalisé par intégration locale des pressions magnétiques (dFmagS ou dFLapV). Suivant les méthodes, ces pressions magnétiques sont soit directement intégrées aux nœuds, soit calculées aux points de Gauss afin d'obtenir des forces intégrées par éléments qui sont ensuite réparties aux nœuds. Quelle que soit la méthode retenue, les forces finales sont toujours localisées aux nœuds afin de pouvoir être transférées vers OptiStruct ou d'autres solveurs de mécanique. En mode avancé et suivant les applications, plusieurs méthodes sont disponibles :

  • Intégration directe aux nœuds : Dans le cadre de cette méthode, la pression magnétique, dFmagS ou dFlapV, est directement calculée sur les nœuds du maillage et est ensuite intégrée sur une surface équivalente perçue par les nœuds afin d’obtenir une force. Cette surface est définie par les éléments entourant ce nœud.

    Figure 1. Maillage simple (uniforme et régulier) du premier ordre avec quatre éléments quadrangulaires et représentant trois types de nœuds ; A : un nœud sur un coin du domaine, B : un nœud au centre du domaine et C : un nœud sur le bord du domaine

    Sur la figure 1, le cadre bleu représente la surface perçue par le nœud A, tandis que la surface verte représente la surface du nœud B. Comme la pression magnétique est calculée sur chaque nœud, il convient alors que la force au nœud A situé dans un coin du domaine éléments finis s’écrive :

    F a = P a   S 4

    Le coefficient 1/4 représentant le ratio entre la surface perçue par le nœud A et la surface des éléments de maillage. En dénotant Pi la pression sur le nœud i et S la surface de l’élément, on peut donc écrire qu’au nœud B et qu’au nœud C la force est respectivement :

    F b = P b   S             ;             F c = P c   S 2

    Cette méthode n’est utilisable que pour les applications 2D, pour lesquelles elle est employée par défaut en mode standard.

  • Intégration aux éléments et équi-répartition aux nœuds : Pour cette méthode, les forces sont d'abord calculées dans chaque élément par intégration de la pression magnétique aux points de Gauss. Ces forces sont ensuite réparties équitablement entre chacun des nœuds des éléments. Sur la figure 2, on représente un maillage avec quatre forces différentes dans quatre éléments :

    Figure 2. Maillage avec quatre éléments quadrangulaires et une force par élément

    D’après la figure 2, la contribution des forces aux nœuds A, B et C peut alors s’écrire de la façon suivante :

    F a = F 1 4                                           F b = F 1 4 + F 2 4 + F 3 4 + F 4 4                                       F c = F 2 4 + F 4 4

    Le nœud A ne reçoit la contribution que d’un élément, le nœud B reçoit la contribution de quatre éléments et le nœud C reçoit la contribution de deux éléments, le tout équitablement répartie. Cette transformation conserve le fait que la somme des forces aux éléments soit égale à la somme des forces aux nœuds.

    Cette méthode est utilisable pour toutes les applications. Elle est employée par défaut en mode standard pour les applications Flux 3D et Flux Skew.

  • Intégration aux éléments et extrapolation aux nœuds : Pour cette méthode, la force est également obtenue par intégration de la pression dans les éléments mais elle est ensuite extrapolée aux nœuds avec une moyenne statistique établie sur les éléments voisins du nœud. Un coefficient α, égal pour tous les nœuds, est introduit a posteriori afin de garantir que la somme des forces aux nœuds soit égale à la somme des forces aux éléments.

    Si l’on reprend le cas de la figure 2, on peut alors écrire qu’au nœud B :

    F b = α   F 1 4 + F 2 4 + F 3 4 + F 4 4  

    Il convient alors qu’aux nœuds A et C, nous obtenons :

    F a = α   F 1                                                         F c =   α   F 2 2 + F 4 2