SS-V：9004 導電性材料を持つ共振器

テスト番号VE05導電性材料で満たされた共振器のモーダル解析

定義

モデルの詳細：

図 1：a = 20mm、b = 10 mm、L = 40 mm
すべての壁面はPEC（完全電気導体）条件下となります

材料特性は以下のとおりです。

特性: 値
誘電体の比誘電率（ $ε_{r}$ ）: 1.0
誘電体の比透磁率（ $μ_{r}$ ）: 1.0
電導率（ $σ$ ）: 1.0 [S/m］

基準解

このケースの電界強度の方程式は^¹です。

\nabla \times (\frac{1}{μ} \nabla \times E) + ε \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} + σ \frac{\partial E}{\partial t} = 0

この問題の条件下における調和波（時間依存性 $e^{j ω t}$ を持つ）は、次の形式を取ります。

\nabla^{2} E_{ω} + {(\frac{ω}{c})}^{2} E_{ω} - j σ η (\frac{ω}{c}) E_{ω} = 0

ここで、

$μ = μ_{r} μ_{0}$: 透磁率
$ε = ε_{r} ε_{0}$: 誘電率
$η = \sqrt{\frac{μ}{ε}}$: 材料の固有インピーダンス
$c = \sqrt{\frac{1}{ε μ}}$: 材料の光速

上記の共振器における定在波の空間依存性は、各座標に対して、それぞれの方向の半波長の固定数を表すsinまたはcos関数の積で記述されます。したがって、上記の方程式におけるラプラシアンの作用は、負の符号^²を持つ次の数との乗算に帰着します。

{k_{m n l}}^{2} = {(\frac{πm}{a})}^{2} + {(\frac{πn}{b})}^{2} + {(\frac{πl}{L})}^{2}

固有周波数を求めることは、二次方程式の解に帰着します。

{(\frac{ω}{c})}^{2} - j σ η (\frac{ω}{c}) - {k_{m n l}}^{2} = 0

γ = α + j β = j {(\frac{ω}{c})}_{m n l} = \frac{(- σ η \pm j \sqrt{- {(σ η)}^{2} + 4 {k_{m n l}}^{2}})}{2}

ここで、

$α$: 減衰定数
$β$: 位相定数（波数）

${(σ η)}^{2} \geq 4 {k_{m n l}}^{2}$ の場合、位相定数はゼロとなり、振動は観測されません。そのようなモードが励起された場合、ゼロに減衰しているはずです。 ${(σ η)}^{2} < 4 {k_{m n l}}^{2}$ の場合、モードは振動し、周波数 $f = \frac{c β}{2 π}$ に依存しない時間定数 $τ = \frac{1}{(c α)} = \frac{2}{c σ η}$ によって定義される速度で減衰します。

結果

T E_{10 l}

モードについて、理論値fと、モデリングで得られた値

\frac{1}{τ}

の比較を、以下の図に示します。

Figure 2. 理論値とモデル共振パラメータの比較（複素共役値は示していない）

以下の図は、あるモードの電界分布を示しています。

Figure 3. $T E_{103}$ モードの電界 $E_{y}$ の分布の実数部

¹ Jianming, J., The finite element method in electromagnetics, 3rd Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2014, Ex.12.8.

² Pozar, D.M., Microwave Engineering, 4th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2012, §6.3.