Grandeurs locales (ou spatiales)

Définition

Les grandeurs locales (ou spatiales) sont les grandeurs directement accessibles en chaque point du domaine.

Elles peuvent être utilisées pour :

• réaliser une analyse fine des phénomènes étudiés
• vérifier que les données du problème ont été introduites correctement
• contrôler que la résolution s'est bien passée
• …

D'un point de vue application physique …

D'un point de vue application physique, les grandeurs locales dépendent de l'application physique activée*.

Dans le cadre d'une application magnétique, les grandeurs locales significatives sont le champ magnétique H, l'induction magnétique B, … Ces grandeurs peuvent être utilisées par exemple pour déterminer les zones de saturation d'un matériau magnétique, contrôler les points chauds d'un dispositif soumis à des courants induits, …

Dans le cadre d'une application électrique, les grandeurs locales significatives sont le potentiel électrique V, le champ électrique E, …

Dans le cadre d'une application thermique, la grandeur locale significative est la température T.

D'un point de vue mathématique

D'un point de vue mathématique, les grandeurs locales (ou spatiales) sont des grandeurs scalaires ou vectorielles / réelles ou complexe.

D'un point de vue éléments finis …

D'un point de vue éléments finis, les grandeurs locales peuvent être de différents types. Il est possible de distinguer :

• les variables d'état (potentiel magnétique, potentiel électrique, température)
• les dérivées des variables d'état (champ magnétique, champ électrique, ...)
• les grandeurs résultant d'un calcul (densité de courant dans un conducteur massif, densité de force surfacique moyenne, ...).
• les propriétés physiques utilisées pour définir le problème (perméabilité magnétique, permittivité électrique, densité de courant source, ...)

La variable d'état n'est pas toujours la grandeur physique pertinente à observer. Par exemple, en électromagnétisme, le potentiel vecteur magnétique A ne veut rien dire par lui-même. Seule sa dérivée, qui représente l'induction magnétique B, a une signification pour le concepteur. En thermique par contre, la température est la grandeur significative.

Les variables d'état

Les variables d'état sont les grandeurs calculées aux nœuds du maillage au cours de la résolution.

Ce sont des grandeurs discrétisées. Leur évaluation en un point quelconque d'un élément fini est faite par interpolation à partir des fonctions d'approximation définies sur cet élément et des valeurs aux nœuds de celui-ci.

Exemple :

si la variable d'état est le potentiel vecteur magnétique A, elle peut s'écrire sous la forme :

où :

• les α_i sont les fonctions de forme du maillage
• les A_i sont les valeurs de la variable d'état aux nœuds du maillage

Les polynômes α_i sont continus et définis par morceau sur chaque élément, ce qui assure la continuité de la variable d'état A.

Les dérivées des variables d'état

Les dérivées des variables d'état sont calculées par dérivation directe des relations définies sur chaque élément.

si la variable d'état est le potentiel vecteur magnétique A, l'induction magnétique B peut s'écrire sous la forme :

si la variable d'état est le potentiel scalaire magnétique , l'induction magnétique B peut s'écrire sous la forme :

Etant donné que les polynômes α_i sont du même ordre que l'élément auquel ils se rattachent, une grandeur dérivée ainsi calculée est constante dans un élément du premier ordre et a une variation linéaire dans un élément du deuxième ordre.

D'autre part, les polynômes α_i étant définis par morceau sur chaque élément, la continuité de la grandeur dérivée n'est pas assurée parfaitement entre deux éléments, ce qui peut conduire, en cas de maillage insuffisamment fin, à une représentation en lignes brisées de cette grandeur.

Les grandeurs résultant d'un calcul

Les grandeurs résultant d'un calcul sont les grandeurs qui se déduisent des variables d'état et de leurs dérivées à l'aide de formules.