Grandeurs scalaires, notion de phaseur
Introduction
Les grandeurs disponibles à l'exploitation peuvent être des grandeurs scalaires ou des grandeurs vectorielles.
Ce paragraphe traite des grandeurs scalaires et rappelle quelques définitions : notation complexe, vecteur tournant, phaseur…
Représentation complexe
Une grandeur scalaire sinusoïdale, de pulsation ω, peut être représentée géométriquement par un vecteur tournant à la vitesse angulaire ω.
Ce vecteur est la représentation géométrique d'un nombre complexe.
Exemple : courant sinusoïdal
On s'intéresse à un courant sinusoïdal i : d'amplitude Î, de pulsation ω (ω =2 π f), de phase à l'origine β (à t = 0).
La valeur instantanée du courant sinusoïdal i : i = Î.sin(ω.t + β)
est égale à la partie imaginaire du nombre complexe i : i = Im( i )
Vecteur tournant à la vitesse ω |
Grandeur sinusoïdale de période T= 2 π / ω |
---|---|
Ainsi la valeur instantanée complexe d'un courant sinusoïdal est donnée par la relation suivante :
- sous forme cartésienne : i = Î.cos(ω.t + β)+j.Î.sin(ω.t + β)
- sous forme exponentielle : i = Î.e j(ω.t + β)
où :
- Î est le module du nombre complexe i
- ω.t + β est l'argument (ou la phase) du nombre complexe i
- β est la phase à l'origine
Notation complexe
Le vecteur tournant associé une grandeur sinusoïdale s'exprime sous la forme d'un nombre complexe A.
Ce nombre complexe A peut s'écrire :
- sous forme cartésienne :
- sous forme exponentielle :
Notion de phaseur
Le nombre complexe A associé à la grandeur sinusoïdale A(t) peut se décomposer en deux termes :
Cette décomposition est présentée dans le tableau ci-dessous.
Le terme … | qui peut s'écrire … | correspond … |
---|---|---|
au vecteur tournant associé à la grandeur A(t) à l'origine (t=0) | ||
à une rotation supplémentaire d'un angle ω.t |
-
Le terme contient les informations relatives à l'amplitude et la phase à l'origine de la grandeur
- Le terme ejωt contient l'information sur la manière dont cette valeur varie avec le temps
Notion de phaseur
Une fonction sinusoïdale dans le monde temporel :
peut être représentée par un phaseur dans le monde des complexes
Phaseur : définition
On appelle le phaseur associé à la grandeur
ou si l'on préfère le phaseur associé à la grandeur est le vecteur tournant associé à cette grandeur pris au temps t = 0.