Calcul par éléments finis, les fonctions d’approximation

Introduction

Ce paragraphe traite des fonctions d’approximation dans le cadre des applications magnétiques pour les formulations choisies automatiquement (Potentiel scalaire magnétique et potentiel vecteur électrique):

de l’ordre des fonctions d’approximation : 1^er ordre / 2^nd ordre
du type des fonctions d’approximation : arête / nodale

Ordre des éléments et fonctions d’approximation

Flux propose à l’utilisateur :

différents types d’ordre pour le maillage : maillage du 1^er ordre ou maillage du 2^nd ordre
différents types de fonctions d’approximation : des fonctions linéaires (1^er ordre) ou des fonctions quadratiques (2^nd ordre)

Par défaut, l’ordre des fonctions d’approximation est lié à l’ordre du maillage, comme cela est présenté dans le tableau ci-dessous.


Maillage	Position des nœuds	Fonction d’approximation
1er ordre	Sommets	Linéaire (polynôme d’ordre1)
2nd ordre	Sommets + milieu des arêtes	Quadratique (polynôme d’ordre2)

Il est possible de dissocier l’ordre des fonctions d’approximation et l’ordre du maillage. L’utilisateur peut ainsi combiner un maillage au 1^er ordre avec des fonctions d’approximation du 2^nd ordre et réciproquement*.

Remarque : * Dans le cas où l’utilisateur choisi des fonctions d’approximation du 2^nd ordre avec un maillage au 1^er ordre, le logiciel impose automatiquement un maillage au second ordre (nécessaire pour un calcul avec des fonctions d’approximation du 2^nd ordre).

Fonction d’approximation nodale ou d’arête

Flux propose à l’utilisateur des fonctions d’approximation :

d’arêtes (calcul sur les arêtes des éléments et stockage de l’information sur le nœud milieu)
nodales (calcul aux nœuds des éléments)

Les fonctions d’arêtes sont proposées uniquement pour le potentiel vecteur électrique T. Pour le potentiel scalaire magnétique ϕ, les fonctions d’approximation sont nodales.

L’utilisation des fonctions d’arête s’applique donc aux régions de type conducteur massif (applications Magnétique Transitoire et Magnéto Harmonique).

Attention

Les formulations d’arêtes sont obligatoires (sinon les résultats sont faux) dans les conditions suivantes :

conducteur massif
présence de courants (induits) tangent à des arêtes du dispositif ces arêtes sont des arêtes de coins rentrants

Ces conditions sont illustrées sur la figure ci-dessous.

Exemple : calcul de courants de Foucault dans un conducteur massif passif de type plaque mince en présence de fissures.

Modifier les choix par défaut

L’utilisateur n’a pas besoin de modifier l’ordre ou le type des fonctions d’approximation. Les choix par défaut sont les choix adaptés à la majorité des situations. Cependant, il peut être amené dans certaines conditions particulières à modifier ces choix.

C’est pourquoi, les deux modes de fonctionnement sont décrits dans les blocs suivants :

mode automatique : choix par défaut
mode manuel : choix de l’utilisateur

En mode automatique

En mode automatique, l’ordre des fonctions d’approximation nodales suit l’ordre des éléments du maillage :

si le maillage est au 1^er ordre, les fonctions d’approximation nodales sont au 1^er ordre
si le maillage est au 2^nd ordre, les fonctions d’approximation nodales sont au 2^nd ordre

S’il existe des régions de type conducteur massif (formulation en potentiel vecteur électrique), les fonctions d’approximation sont des fonctions d’arêtes qui nécessitent un maillage du second ordre. La génération des éléments du second ordre est alors automatiquement réalisée.

Le calcul est ainsi réalisé dans les conditions suivantes :

Potentiel scalaire magnétique : fonction d’approximation nodale (2^nd ordre)
Potentiel vecteur électrique : fonction d’approximation d’arête

En mode manuel

En mode manuel, l’utilisateur peut modifier l’ordre (1^er ordre / 2^nd ordre) et le type des fonctions d’approximation (nodale / arête pour le potentiel vecteur électrique). Ces modifications sont réalisées dans la boîte associée à la définition de l’application comme cela est présentée dans la figure ci-dessous.

Conseils

Pour un projet de taille conséquente, lorsque la mémoire est insuffisante lors de la résolution, il est possible de diminuer cette mémoire en choisissant l’ordre d’approximation des variables vectorielles au premier ordre. Cela permet de gagner du temps et de la mémoire, en dépit d’une légère dégradation de la précision des résultats.