SS-V：9003 双材料共振器

测试编号：VE04双材料共振器的模式分析

定义

Figure 1.


模型的详细信息如下：
  • 图 1: a1 = 5mm, a2 = 15mm, a = a1 + a2, b = 10 mm, L = 100 mm
  • 所有壁面都为 PEC（理想电导体）条件。
材料属性为：
属性
值
介质相对电容率 ( ε r )
4.0
介质相对磁导率 ( μ r )
1.0
空气相对磁导率 ( ε r )
1.0
空气相对磁导率 ( μ r )
1.0

参考解

Figure 2. 共振器横截面


我们研究的对象为 T E 10 l 模式（l=1 的模式为基本模式），这意味着该模式无 y 向相关性 1。

纵向磁场方程变为：

∂ 2 ∂ x 2 + k D 2 H z = 0     for     0 ≤ x ≤ a 1
∂ 2 ∂ x 2 + k A 2 H z = 0     for     a 1 ≤ x ≤ a
其中，
k A 2 =   k 0 2 - πl L 2
和
k D 2 =   ε r k 0 2 - πl L 2

取决于模型参数的组合， k A 2 和 k D 2 为正，或 k D 2 为正，而 k A 2 为负。

在第一种情况下， k 0 的值可从以下方程的解中求得：

k A tan k D a 1 + k D tan k A a 2 = 0

这是将 k A 2 和 k D 2 代入上述定义 1 后得到的结果。

当 k A 2 值为负值时， β 的值可通过求解方程得到（这种情况与 Pozar 著作中的情形互补1）：

k A tan k D a 1 + k D tan h k A a 2 = 0
其中，
k A 2 = -   k A 2 = - k 0 2 + πl L 2
且为正值。

此类超越方程的根可根据所需精度，采用数值法或图解法求解。

在第一种情况下，电场分布为：
Figure 3.


在第二种情况下，电场分布为：
Figure 4.


结果

T E 10 l 的理论共振频率与建模所得频率的结果对比如下图所示。
Figure 5. 理论共振频率与模型共振频率的比较


场的 z 向相关性非常简洁，且已在求解过程中高精度拟合。值得关注的是，我们可以检查一下模型在复现 x 向相关性时的准确度。电场强度在对应于其极大值之一的固定 z 截面处输出，并以该极大值为基准完成归一化处理。下面以 l=3 的情况为例进行说明。
Figure 6. 电场强度 T E 103 模式的 E X , Z 分布情况


如上所述，对于部分 l 的取值，边界两侧的求解均可采用正弦函数描述；而对于其他值（在我们的例子中，从 l=7 开始），空气域内的正弦函数则需替换为双曲正弦函数。这可以从下图中观察到。
Figure 7. 前 10 个 T E 10 l 模式的模态形状。


Figure 8. 前 10 个 T E 10 l 模式的理论模态形状与观测到的模态形状的吻合度

















前 6 种模式属于 T E 10 l 型。 T E 106 模式的场分布如下所示。
Figure 9. T E 106 模式的电场强度


电场在 y 向呈非均匀分布的高阶模式，为 TE 波与 TM 波的混合模式。
Figure 10. 12 阶模式的电场强度


若场在 y 向呈均匀分布，则此类模式仍可依据 TE 波和 TM 波进行分类。
Figure 11. T E 202 模式中的 E y 分布情况


1 Pozar, D.M., Microwave Engineering（微波工程）第 4 版，John Wiley & Sons, Inc., 2012, p.308.