SS-V：9004 带导电材料的共振器

测试编号：VE05填充导电材料的共振器模态分析

定义

模型的详细信息如下：

图 1: a = 20mm, b = 10 mm, L = 40 mm
所有壁面都为 PEC（理想电导体）条件。

材料属性为：

属性: 值
介质相对电容率 ( $ε_{r}$ ): 1.0
介质相对磁导率 ( $μ_{r}$ ): 1.0
传导率 ( $σ$ ): 1.0 [S/m]

参考解

本例中的电场方程为 ^¹：

\nabla \times (\frac{1}{μ} \nabla \times E) + ε \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} + σ \frac{\partial E}{\partial t} = 0

针对本问题设定的条件，谐波（依赖于时间 $e^{j ω t}$ ）的表达式如下：

\nabla^{2} E_{ω} + {(\frac{ω}{c})}^{2} E_{ω} - j σ η (\frac{ω}{c}) E_{ω} = 0

其中，

$μ = μ_{r} μ_{0}$: 磁导率
$ε = ε_{r} ε_{0}$: 介质电容率
$η = \sqrt{\frac{μ}{ε}}$: 材料的本征阻抗
$c = \sqrt{\frac{1}{ε μ}}$: 材料中的光速

上述共振器中驻波的空间依赖性正弦或余弦函数乘积描述，每个坐标代表这些方向上固定数量的半波长。因此，上式中拉普拉斯算子的作用简化为与下式中带有负号的数字相乘^²：

{k_{m n l}}^{2} = {(\frac{πm}{a})}^{2} + {(\frac{πn}{b})}^{2} + {(\frac{πl}{L})}^{2}

找到本征频率就等于求解了二次方程：

{(\frac{ω}{c})}^{2} - j σ η (\frac{ω}{c}) - {k_{m n l}}^{2} = 0

γ = α + j β = j {(\frac{ω}{c})}_{m n l} = \frac{(- σ η \pm j \sqrt{- {(σ η)}^{2} + 4 {k_{m n l}}^{2}})}{2}

其中，

$α$: 衰减常数
$β$: 相位常数（波数）

如果 ${(σ η)}^{2} \geq 4 {k_{m n l}}^{2}$ ，则相位常数为零，不会出现振荡。如果这种模式被激发，它就会衰减为零。对于 ${(σ η)}^{2} < 4 {k_{m n l}}^{2}$ ，模式呈振荡衰减特性，速率由时间常数 $τ = \frac{1}{(c α)} = \frac{2}{c σ η}$ 决定，且该常数与频率 $f = \frac{c β}{2 π}$ 无关。

结果

T E_{10 l}

模式的理论值 f 和

\frac{1}{τ}

与建模所得结果的对比如下图所示。

下图展示了其中一种模式的电场分布。

Figure 3. $T E_{103}$ 模式下的电场分布 $E_{y}$ 的实部

¹ Jianming, J., The finite element method in electromagnetics（电磁学中的有限元法）第 3 版，John Wiley & Sons, Inc., 2014, Ex.12.8.

² Pozar, D.M., Microwave Engineering（微波工程）第 4 版，John Wiley & Sons, Inc., 2012, §6.3.