响应谱分析

结构分析方法，用于预测结构在承受动态载荷（通常是地震或爆炸等瞬态事件）时的最大响应。

响应谱分析 (RSA) 可估算出结构在这些条件下所承受的最大位移、应力和力。RSA 将特定动态载荷的预定义响应谱与法向模态分析结果相结合。与时间历史分析不同，RSA 不会生成响应的时间演变。

响应谱说明了单自由度 (1-DOF) 系统在特定动态载荷下的最大响应与固有频率的关系。这些谱有助于计算每个结构模态的最大模态响应。各种组合方法，如绝对和 (ABS)，平方和的平方根 (SRSS)，海军研究实验室 (NRL) 或完全二次项组合 (CQC)，合并这些模态最大值来估算结构的峰值响应。

与传统的瞬态分析方法相比，RSA 提供了一种更简单、计算效率更高的近似峰值响应方法。主要的计算要求在于获取足够数量的法向模态，以准确表示输入激励和结果响应的整个频率范围。通常，设计规范会提供响应谱，以便快速计算不同动态激励下的峰值响应。因此，RSA 是一种常用的设计工具，特别是在建筑物的抗震分析中。

在对结构执行 RSA 时，选择适当的模态组合方法对于获得准确的结果至关重要。这种方法决定了软件如何将单个振动模式（模态响应）的原始结果合并为每一自由度的位移、反作用力、内力和其他参数的单一值集。这些综合结果是设计结构的基础，突出了谨慎选择模态组合方法的重要性。下文将探讨 RSA 中常用的几种模态组合方法。

模态组合

绝对和 (ABS)

绝对和模态组合法会计算每个振动模式结果（如位移或内力）的绝对值，并将这些绝对值相加。这种方法会假设所有峰值模态响应同时发生，因此估算结果比较保守。因此，由于其过于保守的性质，它在结构设计应用中并未得到广泛青睐。

采用绝对和法计算总响应峰值的公式为：

$总响应峰值 = Σ_{i} |R_{n}|$

$R_{n} = A_{i n} ψ_{i} X$

其中，

$R_{n}$: 代表每个振动模式在单个自由度下的瞬态响应
$A$: 特征向量
$ψ$: 模态参与因子
$X$: 输入响应谱

这个简单明了的公式会将所有模式响应的绝对值相加，而不考虑它们的符号。

平方和的平方根 (SRSS)

SRSS 模态组合方法会计算每种振动模式结果平方和的平方根，从而得出总响应峰值的近似值。这种方法对于具有不同固有频率的结构尤为有效。但是，如果结构的固有频率间隔很近，SRSS 可能无法得出准确的结果，应避免使用。

采用 SRSS 方法的总响应峰值形式可表示为：

$总响应峰值 = \sqrt{Σ_{i} R_{n}^{2}}$

$R_{n} = A_{i n} ψ_{i} X$

其中，

$R_{n}$: 代表每个振动模式在单个自由度下的瞬态响应
$A$: 特征向量
$ψ$: 模态参与因子
$X$: 输入响应谱

此公式会计算所有模式响应平方和的平方根，从而估算出总响应峰值。

完全二次项组合 (CQC)

CQC 方法确实能够解决 SRSS 方法在组合自然频率间隔较近的结构的模态响应时的局限性。使用 CQC 方法的总响应峰值可通过公式求得：

$总响应峰值 = \sqrt{\sum_{i} Σ_{j} R_{i} ρ_{i j} R_{j}}$

其中，

$R_{i} R_{j}$: 分别为 i、j 振动模式的峰值模态响应
$ρ_{i j}$: 每个求和步骤合并的两个模态的模态相关系数

模态相关系数

$ρ_{i j}$ 的计算公式为：

$ρ_{i j} = \frac{8 \sqrt{ξ_{i} ξ_{j}} (ξ_{i} + β_{j i} ξ_{j}) β_{j i}^{1 \cdot 5}}{{(1 - β_{j i}^{2})}^{2} + 4 ξ_{i} ξ_{j} β_{j i} (1 + β_{j i}^{2}) + 4 (ξ_{i}^{2} + ξ_{j}^{2}) β_{j i}^{2}}$

其中，

$β_{j i}$: i 和 j 模态的固有频率之比 ( $λ_{j} / λ_{i}$ )
$ξ_{i}$ 和 $ξ_{j}$: 两个模态的模态阻尼值

此方程考虑了阻尼比、模态固有频率及其相关性之间的关系，与 SRSS 方法相比，可确保更准确地估算总响应峰值。

海军研究实验室 (NRL)

NRL 模态组合方法综合了平方和平方根 (SRSS) 和绝对和 (ABS) 两种方法的优点，实现了一种响应谱分析的平衡方法。它采用 ABS 方法将最大峰值模态响应和其余模态响应相加，计算出的响应具有不同的固有频率，并采用 SRSS 方法进行评估。

NRL 模态组合法的公式如下：

$总响应峰值 = |A_{i k}| |Ψ_{i} X| + \sqrt{\sum_{j \neq i} {(A_{j k} Ψ_{j} X)}^{2}}$