Calcul de matrices de capacités

Introduction

Le calcul de capacités et de matrice de capacités sont expliqués dans ce paragraphe. Un bref rappel des équations est effectué. Puis deux méthodes sont présentées :

• la méthode classique passant par le bilan de puissance et nécessitant N.(N+1)/2 calculs éléments finis
• une méthode plus originale nécessitant une inversion d'une matrice NxN, mais ne demandant que N calculs éléments finis.

Principe

En présence de N conducteurs, il est nécessaire de déterminer les capacités de chaque conducteur (C_ii), plus les capacités « mutuelles » (C_ij) représentant les interactions entre différents conducteurs. Pour N conducteurs, il faut alors déterminer NxN coefficients. Heureusement, les interactions du conducteur i sur le conducteur j sont égales aux interactions du conducteur j sur le conducteur i, permettant de diviser par deux le nombre d'inconnues à calculer.

Le nombre d'inconnues à déterminer est alors N.(N+1)/2.

L'énergie (W) dans le domaine éléments finis est définie par :

La charge (Q_i) du composant i est définie par :

Le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss permet de calculer la charge à partir d'une intégrale surfacique (quelque soit la surface englobant le conducteur):

Cette intégrale peut facilement se calculer en 2D plan à l'aide d'une intégrale linéique de la composante normale de la densité d'induction électrique. La valeur de l'intégrale de cette courbe multipliée par la longueur donne directement la charge électrique en Coulomb.

Méthode énergétique

La première méthode est basée sur le calcul d'énergie. Pour chaque configuration, l'énergie est calculée, et permet de déterminer l'un des coefficients de la matrice. Il faut donc calculer N.(N+1)/2 configurations.

• Etape 1 :

  V_i = 1 ; V_j (j différent de i) = 0

  C_ii = 2 .W/V_i²

• Etape 2 :

  V_i = 1 ; V_j = -1 ; V_k (k différent de i et j) = 0

  C_ij = (0.5).(C_ii +C_jj)-W_ij

Méthode potentiel flottant

Cette méthode ne nécessite que N calculs. En revanche, il faut avoir la possibilité d'inverser une matrice NxN.

Le principe consiste à mettre des conditions flottantes sur tous les conducteurs, puis d'imposer un potentiel constant et identique (Q₀) à tous les conducteurs un par un.

Cette condition se remplit assez aisément par un calcul paramétrique où chaque conducteur défini par une région linéique est affecté à une charge nulle. Au niveau du calcul, les charges sont toutes paramétrées, avec une valeur nulle comme valeur de référence et la charge Q₀ comme seconde valeur. Le calcul est monoparamétrique, réalisant ainsi en un passage les N calculs.

A l'exploitation, il faut noter les valeurs de Vi obtenues sur chaque conducteur. Une matrice est ainsi construite avec les N valeurs de Vi obtenues sur chaque calcul. La matrice inverse, multipliée par Q₀ donne la matrice de capacités.