Magnéto Statique : équations résolues (modèle scalaire)

Introduction

Le modèle scalaire est le modèle général proposé pour une application 3D.

Ce modèle est utilisé par défaut (en automatique) par le solveur 3D de Flux 3D pour la résolution d'une application 3D.

Equation résolue en modèle scalaire (3D)

L'équation permet d'introduire différents potentiels scalaires magnétiques ϕ tels que : . La partie est une partie irrotationnelle du champ ( ) tandis que la partie peut être de rotationnel non nul.

peut être choisi de différentes façons et un choix différent de conduit à un potentiel scalaire différent. Flux 3D dispose de formulations magnétiques différentes utilisant des potentiels scalaires différents. A chaque région du problème correspond une formulation et par conséquent une équation.

La forme générale de l'équation résolue par la méthode des éléments finis dans une application magnétostatique s'écrit:

où:

• [μ_r] est le tenseur de perméabilité magnétique relative du milieu
• μ₀ est la perméabilité magnétique du vide ; μ₀ = 4 π 10^-7 (en H/m)
• ϕ est un potentiel scalaire magnétique (en A) : ϕ_tot ou ϕ_red

• est un terme correspondant aux sources (champ source ou potentiel vecteur électrique (en A/m))

• est l'induction rémanente (aimants) (en T)

Les formulations proposées…

Les trois formulations proposées dans le modèle scalaire correspondent schématiquement aux trois situations suivantes :

• il n'y a pas de source de courant
• les sources de courant sont des sources non maillées
• les sources de courant sont des sources maillées

Les équations résolues dans ces trois situations sont présentées ci-après.

Utilisées de manière isolée, chacune de ces formulations présente des limitations importantes; utilisées de manière couplée, elles forment un modèle général performant.

Le potentiel scalaire total (3D)

Le potentiel scalaire magnétique total, ϕ_tot, est utilisé dans le cas où il n'y a pas de sources de courant. La densité de courant est nulle, ce qui correspond à dans l'équation générale.

Le champ peut s'écrire :

et l'équation résolue :

La variable d'état est le potentiel scalaire magnétique total : ϕ_tot

(noté V1 dans Flux)

Le potentiel scalaire réduit par rapport à H_j (3D)

Le potentiel scalaire magnétique réduit par rapport à H_j, ϕ _redHj, est utilisé dans le cas où les sources de courant sont des sources non maillées. Ce cas correspond à dans l'équation générale avec H_j calculé de façon analytique par Biot et Savart (cf. § Magnéto Statique : sources non maillées (spécificité 3D) ).

Le champ peut s'écrire :

et l'équation résolue :

La variable d'état est le potentiel scalaire magnétique réduit par rapport à H_j : ϕ_redHj (noté V1R dans Flux 3D)

Le potentiel scalaire réduit par rapport à T₀ (3D)

Le potentiel scalaire magnétique réduit par rapport à T₀, ϕ _redTo, est utilisé dans le cas où les sources de courant sont des sources maillées. Ce cas correspond à dans l'équation générale avec défini par (où est la densité de courant des sources maillées).

Le champ peut s'écrire :

et l'équation résolue :

Les variables d'état sont alors :

• le potentiel scalaire magnétique réduit par rapport à T₀ : ϕ_redTo

  (noté également V1R dans Flux)

• le potentiel vecteur électrique

  (non directement accessible dans Flux)