Electro Harmonique : équations résolues

Introduction

Dans une application Electro Harmonique, les équations utilisées pour la résolution sont :

  • les équations de Maxwell (pour un système électrique)
  • les équations constitutives de la matière, caractérisant les milieux diélectriques

Les conditions de calcul pour une application Electro Harmonique sont les suivantes :

  • on s'intéresse aux champs D et E (les champs B et H ne sont pas calculés)

    Les équations en champs électriques E, D et en champs magnétiques B, H sont découplées

  • l'étude est une étude harmonique de pulsation ω et toutes les grandeurs fonction du temps varient de façon sinusoïdale avec celui-ci. L'opérateur ∂/∂t est transformé en jω

Equations et conditions

Dans les conditions de calcul énoncées précédemment, les équations se résument de la façon suivante :

 ⇒

E : champ électrique (en V/m)

D : induction électrique (en C/m2)

V : potentiel électrique (en V)

J : densité de courant (en A/m2)

⇒

σ : conductivité (en S)

εr : permittivité relative

ε0 : permittivité du vide (en F/m)

Rappel sur les opérateurs différentiels :

La divergence du rotationnel d'un champ est toujours nulle : div (rot (Champ)) = 0

Equation résolue

L'équation résolue par la méthode des éléments finis dans une application Electro Harmonique est l'équation suivante:

où:

  • [σ] est le tenseur de conductivité du milieu (en S)
  • [εr] est le tenseur de permittivité relative du milieu
  • [ε0] est la permittivité du vide; ε0 = 1/(36 π 109) (en F/m)
  • V est le potentiel électrique (en V)

Variable d'état

La variable d'état est le potentiel électrique V (noté Ve dans Flux 3D). C'est une grandeur complexe.

Pour que le potentiel V soit entièrement défini, il faut imposer ce potentiel au moins en un point.

Permittivité complexe

La permittivité ε est une grandeur complexe qui tient compte de la fréquence :

[ε] = [ε']- [j ε'']

où:

  • ε' correspond à la permittivité réelle

  • ε'' correspond aux pertes diélectriques :

    ε'' = [ε'] tan δh (avec δh angle de pertes diélectriques par hystérésis)

L'équation résolue par la méthode des éléments finis dans une application Electro Harmonique peut alors s'écrire :

div[-([σ] + ω [ε "] + jω [ε']) gradV] = 0