RD-V: 0210 Yeoh Hyperelastic Material

強制変位が付与され、別の側でX方向にのみ固定された単軸引張ブリック要素。

• Yeoh理論：

  Yeohエネルギー密度：

  $$W={\displaystyle \sum _{i=1}^3\left[C_{i0}{\left({\overline{I}}_1-3\right)}^i+\frac{1}{D_i}{\left(J-1\right)}^{2i}\right]}$$

  この例では、非圧縮性( $J=1$ )の超弾性材料を仮定し、Yeohのひずみエネルギー密度を次のように単純化します：

  $$W=C_{10}{\left({\overline{I}}_1-3\right)}^1+C_{20}{\left({\overline{I}}_1-3\right)}^2+C_{30}{\left({\overline{I}}_1-3\right)}^3$$

  ここで、

  $${\overline{I}}_1={\overline{\lambda }}_1^2+{\overline{\lambda }}_2^2+{\overline{\lambda }}_3^2$$
  ここで、

  ${\overline{\lambda }}_i$

  引張偏差成分は ${\overline{\lambda }}_i=J^{-\frac{1}{3}}{\lambda }_i$ と ${\lambda }_i={\epsilon }_i+1$ 。

  ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$

  主方向1、2、3での引張。

  ${\epsilon }_i$

  主方向 I.の工学ひずみ。

  （非圧縮性）Yeohモデルで定義が必要なパラメータは、 $C_{10},C_{20},C_{30}$ の3つだけです。

  この例では単軸試験が使用されています：

  ${\lambda }_1=\lambda$ および ${\lambda }_2={\lambda }_3={\lambda }^{-\frac{1}{2}}$

  YeohモデルのCauchy応力は次のように計算されます：

  $${\sigma }_i=\frac{{\lambda }_1}{J}\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_1}$$

  単軸試験では、主方向1のCauchy応力（真応力）は：

  $${\sigma }_1=\lambda \frac{\partial W}{\partial {\overline{I}}_1}\frac{d{\overline{I}}_1}{d\lambda }$$

  工学応力は：

  $${\sigma }_{1\_eng}=\frac{{\sigma }_1}{({\epsilon }_{1\_eng}+1)}$$
  この例では、以下の3つの材料パラメータが定義されています：

  $$\begin{array}{l}{C}_{10}\text{=0}\text{.18}\\ C_{20}\text{=-2e-3}\\ C_{30}=5e-5\end{array}$$

  
  
  

• LAW94：

  超弾性モデルは多項式モデルを使用し、Yeohモデルはパラメータが3つしかない多項式モデルの1つです。この例では、粘性は考慮されていません。

This can be checked as follows:

$$G=2C_{10}\text{=2*0}\text{.18=0}\text{.36}$$

$$D1=\frac{\text{3}\left(1-2\nu \right)}{G\left(1+\nu \right)}\text{=}\frac{\text{3}\left(1-2\times \text{0}\text{.495}\right)}{\text{0}\text{.36}\left(1+\text{0}\text{.495}\right)}\text{=}0.055741$$

$$\raisebox{1ex}{$\text{1}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\text{D}1$}\right.=17.94$$

C10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= 0.1800000000000    
     C01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    
     C20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=-2.0000000000000E-03
     C11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    
     C02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    
     C30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= 5.0000000000000E-05
     C21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    
     C12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    
     C03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    
     1/D1  . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  17.94001716615    
     1/D2  . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    
     1/D3  . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000

Compare the above results, then show the difference with analytical results especially in high deformed area.

In order to match the incompressible hyperelastic analytical results, the Poisson’s ratio needs to be defined as close to 0.5 as possible, but can not be simply defined as $\nu \text{=0}\text{.5}$ , which will lead to infinite small time step in numerical computation. In this example $\nu \text{=}0.49999995$ is used. It shows Radioss results are well matched with analytical results.