/MAT/LAW42 (OGDEN)

Blockフォーマットキーワードこのキーワードは、Ogden、Mooney-Rivlin材料モデルを使用して指定された超弾性、粘性、および非圧縮性の材料を定義します。

この法則は、通常、非圧縮性のゴム、ポリマー、フォーム、およびエラストマーのモデル化に使用されます。この材料は、シェル要素とソリッド要素に使用できます。

フォーマット


(1)	(3)	(5)	(6)	(7)	(9)	(10)
/MAT/LAW42/`mat_ID`/`unit_ID`または/MAT/OGDEN/`mat_ID`/`unit_ID`
`mat_title`
$ρ_{i}$
$ν$	$σ_{cut}$		`fct_ID`_blk	`Fscale`_blk	`M`	`I`_form
$μ_{1}$	$μ_{2}$	$μ_{3}$		$μ_{4}$	$μ_{5}$
$μ_{6}$	$μ_{7}$	$μ_{8}$		$μ_{9}$	$μ_{10}$
$α_{1}$	$α_{2}$	$α_{3}$		$α_{4}$	$α_{5}$
$α_{6}$	$α_{7}$	$α_{8}$		$α_{9}$	$α_{10}$

M > 0の場合


(1)	(3)	(5)	(7)	(9)
`G`₁	`G`₂	`G`₃	`G`₄	`G`₅
...`M`個のGの値（1行あたり5つ）
$τ_{1}$	$τ_{2}$	$τ_{3}$	$τ_{4}$	$τ_{5}$
...`M`個の $τ$ の値（1行あたり5つ）

定義


フィールド	内容	SI単位の例
`mat_ID`	材料識別子（整数、最大10桁）
`unit_ID`	Unit Identifier （整数、最大10桁）
`mat_title`	材料のタイトル（文字、最大100文字）
$ρ_{i}$	初期密度（実数）	$[\frac{kg}{m^{3}}]$
$ν$	ポアソン比 3 デフォルト = 0.495（実数）
$σ_{cut}$	引張におけるカットオフ応力。デフォルト = 10³⁰（実数）	$[Pa]$
`fct_ID`_blk	体積係数を相対体積の関数としてスケーリングする関数識別子 6 （整数）
`Fscale`_blk	体積弾性関数のスケールファクターデフォルト = 1.0（実数）
`M`	Prony級数内の粘性項の数（Maxwellモデルの順序）（整数）
`I`_form	ひずみエネルギー密度定式化フラグ。 1 =1（デフォルト）標準のひずみエネルギー密度。 = 2 非圧縮性をより適切にモデル化するための修正版ひずみエネルギー密度。
$μ_{p}$	せん断超弾性係数の`pth`パラメータ（最大10）（実数）	$[Pa]$
$α_{p}$	`p`^th 材料の指数（最大10）（実数）
`G`_i	`ith`番目の乗数（Prony粘性項の） 7 （実数）	$[Pa]$
$τ_{i}$	`ith`番目の時間緩和（Prony粘性項の）（実数）	$[s]$

例（ゴム材）

#RADIOSS STARTER
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/UNIT/1
unit for mat
                  kg                  mm                  ms
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#-  2. MATERIALS:
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/MAT/OGDEN/1/1
rubber
#              RHO_I
                1E-6
#                 Nu           sigma_cut           funIDbulk         Fscale_bulk         M     Iform
                .495                   0                   0                   0         0         0
#               Mu_1                Mu_2                Mu_3                Mu_4                Mu_5
                2e-3               -1e-3                   0                   0                   0
#               Mu_6                Mu_7                Mu_8                Mu_9               Mu_10
                   0                   0                   0                   0                   0
#            alpha_1             alpha_2             alpha_3             alpha_4             alpha_5
                   2                  -2                   0                   0                   0
#            alpha_6             alpha_7             alpha_8             alpha_9            alpha_10
                   0                   0                   0                   0                   0
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#enddata
/END
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|

この材料モデルは、Ogden、Neo-Hookean、またはMooney-Rivlin材料モデルを使用して指定された超弾性、粘性、および非圧縮性の材料を定義します。この法則は、通常、非圧縮性のゴム、ポリマー、フォーム、およびエラストマーのモデル化に使用されます。この材料はシェル要素やソリッド要素で使用することができます。LAW42はOgden材料モデルのひずみエネルギー密度を以下のよう表します。
- I_form=1（デフォルト）：
  $W (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) = \sum_{p = 1}^{10} \frac{μ_{p}}{α_{p}} ({\bar{λ}}_{1}^{α_{p}} + {\bar{λ}}_{2}^{α_{p}} + {\bar{λ}}_{3}^{α_{p}} - 3) + \frac{K}{2} {(J - 1)}^{2}$
- I_form=2：
  $W (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) = \sum_{p = 1}^{10} \frac{μ_{p}}{α_{p}} ({\bar{λ}}_{1}^{α_{p}} + {\bar{λ}}_{2}^{α_{p}} + {\bar{λ}}_{3}^{α_{p}} - 3) + K {(J - 1 - \ln J)}^{}$
ここで、

$W$

ひずみエネルギー密度

$λ_{i}$

ith主工学ストレッチ

$J$

相対体積は次のように定義されます： $J = λ_{1} \cdot λ_{2} \cdot λ_{3} = \frac{ρ_{0}}{ρ}$

${\bar{λ}}_{i} = J^{- \frac{1}{3}} λ_{i}$

偏差ストレッチ

$α_{p}$ および $μ_{p}$

材料定数係数ペア。

10つまでの材料定数ペアを定義できます。

初期せん断係数 $μ$ および体積弾性率（ $K$ ）は、次のように与えられます：
$μ = \frac{\sum_{p = 1}^{10} μ_{p} \cdot α_{p}}{2}$
および
$K = μ \cdot \frac{2 (1 + ν)}{3 (1 - 2 ν)}$
ここで、 $ν$ はポアソン比で、体積弾性率の計算のみに使用されます。
パラメータ $α_{p}$ および $μ_{p}$ は、初期せん断係数 $μ > 0$ となるように選択されなくてはなりません。
材料の安定性のためには、各材料定数ペアが $μ_{p} \cdot α_{p} > 0$ である必要があります。
ポアソン比 $ν$ は、体積弾性率の計算のみに使用されます式 4。
純粋な非圧縮性材料の場合は、 $ν = 0.5$ です。この値は、体積弾性率（ $K$ ）の無限大値を意味します。そのため、非圧縮性材料に推奨される最大ポアソン比は、 $ν = 0.495$ です。
陰解法および陽解法シミュレーションの場合は、ポアソン比を高くすると、時間ステップ値の減少や発散につながる可能性があります。
Ogden材料モデルの特殊なケースが、ひずみエネルギー密度関数の次の式を使用して表現可能な非圧縮性Mooney-Rivlinモデルです：
$W = C_{10} (I_{1} - 3) + C_{01} (I_{2} - 3)$
ここで、 $I_{1}$ と $I_{2}$ は、右Cauchy-Greenテンソルの第1不変量と第2不変量です。
この表現は、次の場合に、Ogdenひずみエネルギー密度関数から求められます：
$μ_{1} = 2 \cdot C_{10}$
$μ_{2} = - 2 \cdot C_{01}$
$α_{1} = 2$
$α_{2} = - 2$
Ogden材料モデルのシンプルなケースが、ひずみエネルギー密度関数の次の式を使用して表現可能なNeo-Hookeanモデルです：
$W = C_{10} (I_{1} - 3)$
ここで、

$I_{1}$

右Cauchy-Greenテンソルの第1不変量

$C_{10}$

材料の定数

この表現は、次の場合に、LAW42 Ogdenひずみエネルギー密度関数から求められます：
$μ_{1} = 2 \cdot C_{10}$
$α_{1} = 2$
および
$μ_{2} = α_{2} = 0$
材料の体積弾性率が圧縮を防ぐのに十分大きくない場合、LAW42では関数（fct_ID_blk）の入力が可能で、それにより体積弾性率を大きくして非圧縮性を保持できるよう、体積弾性率を相対体積の関数としてスケーリングします。
LAW42ではMaxwellモデル（剛性 $G_{i}$ とダンパ $η_{i}$ を持つn個のスプリングの系として簡単に記述することができる）を使用した粘性（速度）効果がモデル化されます：
図 1. Maxwellモデル

Maxwellモデルは、Prony級数の入力（ $G_{i}, τ_{i}$ ）を使って表現されます。超弾性の初期せん断係数 $μ$ は、Maxwellモデルの長期せん断係数 $G_{\infty}$ と同じであり、 $τ_{i}$ は緩和時間です：
$τ_{i} = \frac{η_{i}}{G_{i}}$
$G_{i}$ および $τ_{i}$ の値は正の値である必要があります。
粘性効果を含めるには、この材料則と共に/VISC/PRONYを使用する必要があります。

/MAT/LAW42 (OGDEN)

フォーマット

定義

例（ゴム材）

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