/MAT/LAW122 (MODIFIED_LADEVEZE)

$\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{xx}=C_{11}{\epsilon }_{xx}+C_{12}{\epsilon }_{xy}\\ {\sigma }_{yy}=C_{21}{\epsilon }_{xx}+C_{22}{\epsilon }_{xy}\\ {\sigma }_{xy}=G_{12}{\epsilon }_{xy}\\ {\sigma }_{yz}=\kappa G_{23}{\epsilon }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}=\kappa G_{13}{\epsilon }_{zx}\end{array}\right.$ ここで、 $C=\frac{1}{1-{\nu }_{12}{\nu }_{21}}\left[\begin{array}{cc}{E}_1& {\nu }_{12}{E}_2\\ {\nu }_{21}{E}_1& E_2\end{array}\right]$

ここで、 $E_1=\left\{\begin{array}{ccc}{E}_1^T& \text{if}& {\epsilon }_{xx}\ge 0\\ \frac{E_1^C}{1+\gamma E_1^C\left|{\epsilon }_{xx}\right|}& \text{if}& {\epsilon }_{xx}<0\end{array}\right.$ です。

この繊維方向における圧縮ヤング率の非線形な進展は、繊維の微小座屈および乖離を表すのに使用されます。 $\kappa$ は、シェルでのみ使用されるせん断係数で、プロパティで定義されます。

3D応力条件（ソリッド要素と厚肉シェル）では、コンプライアンスの逆行列を使用して、応力とひずみを関連付けます：

圧縮における繊維方向のヤング率の同じ非線形性が使用されます。

• シェルの場合：
  $$f=\sqrt{{\sigma }_{xy}^2+A{\sigma }_{yy}^2}-{\sigma }_Y$$
• ソリッドの場合：
  $$f=\sqrt{{\sigma }_{xy}^2+{\sigma }_{yz}^2+{\sigma }_{zy}^2+A\left({\sigma }_{yy}^2+{\sigma }_{zz}^2\right)}-{\sigma }_Y$$

ここで、 $A$ は結合係数で、等方性樹脂の場合、その値は0.33に設定できます。この式では、降伏関数は次のように定義されます：

これは、べき乗則に従った等方硬化を表します。硬化係数 $\beta$ は、安定性の問題を回避するため、値 $\max \left(E,2G_{12}\right)$ によって数値的に制限されます。

• 繊維損傷 $d_f$ は、繊維方向1に沿った挙動に影響を与えます。引張荷重の条件下では、繊維損傷は次の式に従って進展します。
  $$d_f=\left\{\begin{array}{ccc}0& \text{if}& {\epsilon }_f^{eq}\le {\epsilon }_f^{ti}\\ d_f^{tu}\frac{{\epsilon }_f^{eq}-{\epsilon }_f^{ti}}{{\epsilon }_f^{tu}-{\epsilon }_f^{ti}}& \text{if}& {\epsilon }_f^{ti}<{\epsilon }_f^{eq}\le {\epsilon }_f^{tu}\\ 1-\left(1-d_f^{tu}\right)\frac{{\epsilon }_f^{tu}}{{\epsilon }_f^{eq}}& \text{if}& {\epsilon }_f^{eq}>{\epsilon }_f^{tu}\end{array}\right.$$
  ここで、 ${\epsilon }_f^{ti}$ は損傷の開始時のひずみ、 ${\epsilon }_f^{tu}$ は最終的なひずみ、 $d_f^{tu}$ は最終的な損傷値、 ${\epsilon }_f^{eq}$ は次のように定義される相当繊維ひずみです：

  • シェルの場合：
    $${\epsilon }_f^{eq}={\epsilon }_{xx}+{\nu }_{21}{\epsilon }_{yy}$$
  • ソリッドの場合：
    $${\epsilon }_f^{eq}=\left(1-{\nu }_{23}{\nu }_{32}\right){\epsilon }_{xx}+\left({\nu }_{23}{\nu }_{31}+{\nu }_{21}\right){\epsilon }_{yy}+\left({\nu }_{21}{\nu }_{32}+{\nu }_{31}\right){\epsilon }_{zz}$$

  マトリックス座屈による繊維の圧縮損傷は、IBUCKフラグによってアクティブ化でき、同様の式で表されます。

  $$d_f=\left\{\begin{array}{ccc}0& \text{if}& \left|{\epsilon }_f^{eq}\right|\le {\epsilon }_f^{ci}\\ d_f^{cu}\frac{\left|{\epsilon }_f^{eq}\right|-{\epsilon }_f^{ci}}{{\epsilon }_f^{cu}-{\epsilon }_f^{ci}}& \text{if}& {\epsilon }_f^{ci}<\left|{\epsilon }_f^{eq}\right|\le {\epsilon }_f^{cu}\\ 1-\left(1-d_f^{cu}\right)\frac{{\epsilon }_f^{cu}}{\left|{\epsilon }_f^{eq}\right|}& \text{if}& \left|{\epsilon }_f^{eq}\right|>{\epsilon }_f^{cu}\end{array}\right.$$

  この繊維損傷は、次のように応力計算に影響します：

  $${\sigma }_{xx}^{dam}=\left(1-d_f\right){\sigma }_{xx}$$
  図 2 は、繊維方向の引張 / 圧縮での予想される挙動を示しています。破線は、圧縮における非線形ヤング率を強調表示しています。

  
  
  

  注: 挙動は、繊維方向に沿って純弾性で損傷します。
• せん断マトリックス損傷 $d$ は、マトリックスと繊維間の剥離を表すために導入されています。その進展は、Lemaitreタイプの損傷モデルでよく使用される、エネルギー解放率の影響を受けます。このモデルでは、2つの弾性エネルギー率が考慮されます。
  • シェルの場合：
    $$\begin{array}{l}{Z}_d=\frac{1}{2}\left(\frac{{\sigma }_{12}^2}{G_{12}}+\frac{{\sigma }_{13}^2}{G_{13}}\right)\\ Z_d^{\text{'}}=\frac{1}{2}\left(\frac{{〈{\sigma }_{22}〉}_{+}^2}{E_2}\right)\end{array}$$

    ここで、 ${〈〉}_{+}$ はMacauleyの括弧で、これは ${\sigma }_{22}$ の正の値のみを考慮します。ただし、以下に示す圧縮損傷が考慮される場合（シェルのみの場合）、これらの括弧は単純な括弧になります。

  • ソリッドの場合：
    $$\begin{array}{l}{Z}_d=\frac{1}{2}\left(\frac{{\sigma }_{12}^2}{G_{12}}+\frac{{\sigma }_{23}^2}{G_{23}}+\frac{{\sigma }_{13}^2}{G_{13}}\right)\\ Z_d^{\text{'}}=\frac{1}{2}\left(\frac{{〈{\sigma }_{22}〉}_{+}^2}{E_2}+\frac{{〈{\sigma }_{33}〉}_{+}^2}{E_3}\right)\end{array}$$

    これによって次の計算が導かれます。

    $$Y=Su{p}_{t\le \tau }\sqrt{Z_d+b{Z}_d^{\text{'}}}$$

    ここで、 $b$ は結合係数です。

  フラグISHの値に応じて、せん断マトリックス損傷は異なる形状で進展します。

  • ISH = 1： 線形形状（図 3）
    $d=\left\{\begin{array}{ccc}0& \text{if}& Y(t)\le Y_0\\ \frac{Y(t)-Y_0}{Y_C}& \text{if}& d<d_{MAX},Y(t)<Y_S,\\ 1-(1-d_{MAX})\frac{Y(t-\Delta t)}{Y(t)}& \text{otherwise}& \end{array}\right.Y(t)<Y_R$

    
    
    

  • ISH = 2： 指数関数的形状（図 4）
    $d=\left\{\begin{array}{ccc}{d}_{sat1}\left(1-\exp \left(\frac{Y_0-Y\left(t\right)}{Y_C}\right)\right)& \text{if}& Y\left(t\right)>Y_0\\ 0& \text{otherwise}& \end{array}\right.$

    
    
    

  • ISH = 3： 表形式形状（図 5）

    $d=f_{D1}\left(\frac{Y\left(t\right)}{Y_0}\right)$

    ここで、 $f_{D1}$ は、IFUNCD1で識別される関数です。

    
    
    

  このせん断マトリックス損傷は、次のように応力計算に影響します：

  • シェルの場合：
    $$\begin{array}{l}{\sigma }_{xy}^{dam}=\left(1-d\right){\sigma }_{xy}\\ {\sigma }_{yz}^{dam}=\min \left(1-d,1-d\text{'}\right){\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}^{dam}=\min \left(1-d,1-d\text{'}\right){\sigma }_{zx}\end{array}$$
  • ソリッドの場合：
    $$\begin{array}{l}{\sigma }_{xy}^{dam}=\left(1-d\right){\sigma }_{xy}\\ {\sigma }_{yz}^{dam}=\left(1-d\right){\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}^{dam}=\left(1-d\right){\sigma }_{zx}\end{array}$$
• 横方向マトリックス損傷 $d\text{'}$ では、マトリックスの微小亀裂を表すことができます。その進展は、異なる弾性エネルギー開放率が使用される点を除き、せん断マトリックス損傷と非常によく似ています。
  $$Y^{\text{'}}=Su{p}_{t\le \tau }\sqrt{Z_d^{\text{'}}}$$
  せん断マトリックス損傷と同様、ITRフラグ値に応じて、3つの異なる進展形状が利用可能です。

  • ITR = 1： 線形形状（図 6）
    $d\text{'}=\left\{\begin{array}{ccc}0& \text{if}& Y\text{'}(t)\le Y_0\text{'}\\ \frac{Y\text{'}(t)-Y_0\text{'}}{Y_C\text{'}}& \text{if}& d<d_{MAX},Y\text{'}(t)<Y_S,\\ 1-(1-d_{MAX})\frac{Y\text{'}(t-\Delta t)}{Y\text{'}(t)}& \text{otherwise}& \end{array}\right.Y\text{'}(t)<Y_R$

    
    
    

  • ITR = 2： 指数関数的形状（図 7）
    $d\text{'}=\left\{\begin{array}{ccc}{d}_{sat2}\left(1-\exp \left(\frac{Y_0\text{'}-Y\text{'}\left(t\right)}{Y_C\text{'}}\right)\right)& \text{if}& Y\text{'}\left(t\right)>Y_0\text{'}\\ 0& \text{otherwise}& \end{array}\right.$

    
    
    

  • ITR = 3： 表形式形状（図 8）

    $d\text{'}=f_{D2}\left(\frac{Y\text{'}\left(t\right)}{Y_0\text{'}}\right)$

    ここで、 $f_{D2}$ は、IFUNCD2で識別される関数です。

    
    
    

    この損傷変数は、引張でのみ生じると想定されます。圧縮では、マトリックスの微小亀裂は近すぎて、最初の損傷のない剛性を回復できないと想定されます（図 9）。ただし、シェルのみの場合、圧縮での特定の横方向マトリックス損傷の進展は、パラメータ $Y_{0C}\text{'}$ 、 $Y_{CC}\text{'}$ 、 $d_{sat2C}$ 、またはIFUNCD2Cを使用して同様に表すことができます。

    
    
    

    この最後の損傷変数は、次のように応力計算に影響します：

    $$\begin{array}{l}{\sigma }_{yy}^{dam}=\left\{\begin{array}{ccc}\left(1-d\text{'}\right){\sigma }_{yy}& \text{if}& {\epsilon }_{yy}\ge 0\\ {\sigma }_{yy}& \text{if}& {\epsilon }_{yy}<0\end{array}\right.\\ {\sigma }_{zz}^{dam}=\left\{\begin{array}{ccc}\left(1-d\text{'}\right){\sigma }_{zz}& \text{if}& {\epsilon }_{zz}\ge 0\\ {\sigma }_{zz}& \text{if}& {\epsilon }_{zz}<0\end{array}\right.\end{array}$$

• 繊維方向において、粘性は、 $F_{11}$ で表される速度係数の導入により、ヤング率に影響を与えます：
  $$E_1^{vis}=E_1\left(1+F_{11}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)\right)$$

  ここで、 $\dot{\epsilon }$ は相当ひずみ速度、 ${\dot{\epsilon }}_{11}$ は方向1における参照ひずみ速度です。

  フラグLTYPE11の値に応じて、速度係数の式は異なる形状を取ります：

  • LTYPE11 = 1： べき乗則
    $$F_{11}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)=D_{11}{\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)}^{n_{11}}$$
  • LTYPE11 = 2： 線形則
    $$F_{11}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)=D_{11}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)+n_{11}$$
  • LTYPE11 = 3： 対数則
    $$F_{11}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)=D_{11}{〈\ln \left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)〉}_{+}+\log n_{11}$$
  • LTYPE11 = 4： 双曲線正接則
    $$F_{11}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)=D_{11}\tanh \left(n_{11}{〈\dot{\epsilon }-{\dot{\epsilon }}_{11}〉}_{+}\right)$$

  繊維破壊も、係数 $F_{11R}$ の導入によりひずみ速度の影響を受け、この係数の進展もパラメータ $D_{11R}$ および $n_{11R}$ を使用することでフラグLTYPE11に依存します：

  $$\begin{array}{l}{\epsilon }_f^{ti}{}^{vis}={\epsilon }_f^{ti}\left(1+F_{11R}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)\right)\\ {\epsilon }_f^{tu}{}^{vis}={\epsilon }_f^{tu}\left(1+F_{11R}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)\right)\\ {\epsilon }_f^{ci}{}^{vis}={\epsilon }_f^{ci}\left(1+F_{11R}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)\right)\\ {\epsilon }_f^{cu}{}^{vis}={\epsilon }_f^{cu}\left(1+F_{11R}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{11}}\right)\right)\end{array}$$
  予想される挙動を以下の図 10に詳細に示します。

  
  
  

• マトリックス方向において、せん断および横方向挙動もひずみ速度の影響を受けます。弾性は、係数 $F_{22}$ および $F_{12}$ を導入することにより、次のように変更されます：
  $$\begin{array}{l}{E}_2^{vis}=E_2\left(1+F_{22}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\\ E_3^{vis}=E_3\left(1+F_{22}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\\ G_{12}^{vis}=G_{12}\left(1+F_{12}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\\ G_{23}^{vis}=G_{23}\left(1+F_{12}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\\ G_{13}^{vis}=G_{13}\left(1+F_{12}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\end{array}$$

  2つの係数が同じひずみ速度参照値 ${\dot{\epsilon }}_{12}$ を使用していること、および $E_3$ 、 $G_{23}$ 、および $G_{13}$ が変更されるのはソリッドのみであることがわかります。係数 $F_{22}$ および $F_{12}$ の形状は、フラグLTYPE12によって決定され、それぞれ $D_{22}$ 、 $n_{22}$ 、および $D_{12}$ 、 $n_{12}$ の値に依存します。

  破壊エネルギーも同じ係数を使用することで、ひずみ速度と共に増加します：

  $$\begin{array}{l}{Y}_0^{vis}=Y_0\left(1+F_{12}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\\ Y_C^{vis}=Y_C\left(1+F_{12}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\\ Y_0{\text{'}}^{vis}=Y_0\text{'}\left(1+F_{22}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\\ Y_C{\text{'}}^{vis}=Y_C\text{'}\left(1+F_{22}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\\ Y_{0C}{\text{'}}^{vis}=Y_{0C}\text{'}\left(1+F_{22}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\\ Y_{CC}{\text{'}}^{vis}=Y_{CC}\text{'}\left(1+F_{22}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{12}}\right)\right)\end{array}$$

  注: 横方向の圧縮損傷パラメータ $Y_{0C}\text{'}$ および $Y_{CC}\text{'}$ は、シェルの場合にのみ変更されます。
• 粘性効果の影響を受ける最後のパラメータは、係数 $F_{R0}$ を使用した初期降伏応力です。
  $${\sigma }_{Y0}^{vis}={\sigma }_{Y0}\left(1+F_{R0}\left(\frac{\dot{\epsilon }}{{\dot{\epsilon }}_{R0}}\right)\right)$$

  同様に、係数 $F_{R0}$ の形状は、パラメータ $D_{R0}$ および $n_{R0}$ を使用して、フラグLTYPER0によって指定されます。

  予想されるマトリックスの横方向挙動（引張およびせん断と同様）を以下の図 11に詳細に示します。