LAW12とLAW14

Tsai-Wu定式化を使用する直交異方性ソリッド材料を記述します。この材料は、Tsai-Wu基準を満たすまでは、3次元直交異方性弾性です。LAW12はLAW14を一般化および改善したものです。

弾性相

どちらの材料則も、弾性相で材料の直交異方性を記述するには、ヤング率、せん断係数、およびポアソン比（9パラメータ）が必要です。

[\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ γ_{12} \\ γ_{23} \\ γ_{31} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{E_{11}} & - \frac{ν_{12}}{E_{11}} & - \frac{ν_{31}}{E_{33}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{E_{22}} & - \frac{ν_{23}}{E_{22}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{E_{33}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2 G_{12}} & 0 & 0 \\ s y m m . & \frac{1}{2 G_{23}} & 0 \\ \frac{1}{2 G_{31}} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{12} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \end{matrix}]

損傷では、応力制限

σ_{t 1}, σ_{t 2} and σ_{t 3}

（引張り / 圧縮）が要求されます。これらの応力制限は、関連する3つの方向での引張り試験で確認することができます。

応力制限に達すると、材料の損傷が始まります（応力は損傷パラメータ

δ

により減少）。損傷（

D_{i} = D_{i} + δ

）がD=1に達すると、応力は0になります。

LAW12（3D_COMP）の場合、Tsai-Wu降伏基準は次のようになります：

\begin{array}{l} F (σ) = F_{1} σ_{1} + F_{2} σ_{2} + F_{3} σ_{3} + F_{11} σ_{1}^{2} + F_{22} σ_{2}^{2} + F_{33} σ_{3}^{2} + F_{44} σ_{12}^{2} + F_{55} σ_{23}^{2} \\ + F_{66} σ_{31}^{2} + 2 F_{12} σ_{1} σ_{2} + 2 F_{23} σ_{2} σ_{3} + 2 F_{13} σ_{1} σ_{3} \end{array}

Tsai-Wu基準の12の係数は、以下の試験による降伏応力を使用して決まります：

引張り / 圧縮試験

縦方向引張り / 圧縮（方向1）：
図 5.

$F_{1} = - \frac{1}{σ_{1 y}^{c}} + \frac{1}{σ_{1 y}^{t}}$
$F_{11} = \frac{1}{σ_{1 y}^{c} σ_{1 y}^{t}}$
横方向引張り / 圧縮（方向2）：
図 6.

$F_{2} = - \frac{1}{σ_{2 y}^{c}} + \frac{1}{σ_{2 y}^{t}}$
$F_{22} = \frac{1}{σ_{2 y}^{c} σ_{2 y}^{t}}$
横方向引張り / 圧縮（方向3）：
図 7.

$F_{3} = - \frac{1}{σ_{3 y}^{c}} + \frac{1}{σ_{3 y}^{t}}$
$F_{33} = \frac{1}{σ_{3 y}^{c} σ_{3 y}^{t}}$

これで、相互作用係数が次のように計算できます：

F_{12} = - \frac{1}{2} \sqrt{(F_{11} F_{22})}

F_{23} = - \frac{1}{2} \sqrt{(F_{22} F_{33})}

F_{13} = - \frac{1}{2} \sqrt{(F_{11} F_{33})}

せん断試験

Tsai-Wu基準の計算には、LAW12およびLAW14の以下に示すパラメータが要求されます：

Tsai-Wuの降伏曲面は、 $F (σ) = 1$ です。 $(F (σ) \leq 1)$ である限り、材料は弾性相にあります。 $(F (σ) > 1)$ になると降伏曲面を超え、材料は非線形相となります。

これら2つの材料則では、降伏曲面には次の係数も考慮する場合があります。

塑性仕事 $W_{p}$ とパラメータBおよびn
ひずみ速度 $\dot{ε}$ とパラメータ ${\dot{ε}}_{0}$ およびc
$F (W_{p}, \dot{ε}) = (1 + B W_{p}^{n}) (1 + c \ln \frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{o}})$

これで、降伏曲面は

F (σ) = F (W_{p}, \dot{ε})

となります。

この降伏曲面 $F (W_{p}, \dot{ε})$ は、 $f_{\max}$ （ $F (W_{p}, \dot{ε}) \leq f_{\max}$ ）によって制限されます。ここで、 $f_{\max}$ はTsai-Wu基準制限の最大値です。

$f_{\max} = {(\frac{σ_{\max}}{σ_{y}})}^{2}$

パラメータB、n、cおよび

{\dot{ε}}_{0}

により、降伏曲面は1～

f_{\max}

となります。