RD-E：0902 2つのボールの衝突

球形のボールの衝撃挙動を検討するために２つのボールが考慮されます。

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RD-E-0902_Collision.zip

モデル概要

軌跡の検討

ボールの挙動は、図 1に示すパラメーター（角度と速度）を用いて表現されます。数値結果は、完全な弾性反発を前提として（反発係数は1）、解析解と比較されます。

初期値
V₁: 0.7m.s^-1
V₂: 1m.s^-1
$θ$ ₁: 40°
$θ$ ₂: 30
mass_ball: 44.514g

モデリング手法

ボールとテーブルは前のプールゲームの定義と同じプロパティを持ちます。テーブルの寸法は 900 mm x 450 mm x 25 mmでボールの直径は50.8 mmです。ボールとテーブルはTYPE16 Lagrangeインターフェースを用いるために16節点厚肉シェル要素でメッシングされます。

rad_ex_fig_9-12 — 図 2. 問題のメッシュ（16節点厚肉シェル）

初期並進速度がボールに/INIV Engine オプションを通して与えられます。速度はXとY軸に投影されます。

rad_ex_fig_9-13 — 図 3. ボールに与えられた初速度（初期位置）

ボールには重力が考慮されます（0.00981 mm.ms^-2）。

ボール-ボールとボール-テーブルの接触はTYPE16インターフェース（セカンダリ節点 / メイン16節点厚肉シェル接触）を用いてモデル化されます。ボール / ボール接触のインターフェース定義を図 4に示します。

rad_ex_fig_9-14 — 図 4. TYPE16 Lagrangeインターフェースのメインとセカンダリ側

解析解

1と2の2つのボールを置き、質量は

m_{1}

と

m_{2}

とし、同じ平面内を移動してそれぞれが衝突のコースで速度

V_{1}

と

V_{2}

で、に示すように接近します。

速度は局所軸 $n$ と $t$ に投影されます。速度と、衝突後の速度の方向を取得するために、運動量保存則が２つのボールについて記録されます：

- m_{1} V_{1 n} + m_{2} V_{2 n} = m_{1} V_{1 n}^{'} - m_{2} V_{2 n}^{'}

または

- m_{1} V_{1} \sin θ_{1} + m_{2} V_{2} \sin θ_{2} = m_{1} V_{1}^{'} \sin θ_{1}^{'} - m_{2} V_{2}^{'} \sin θ_{2}^{'}

衝撃波弾性で摩擦無しと仮定されます。並進運動エネルギーの維持が尊重され、回転エネルギーは考慮されないとすると：

\frac{1}{2} m_{1} (V_{1 n}^{' 2} + V_{1 t}^{' 2}) + \frac{1}{2} m_{2} (V_{2 n}^{' 2} + V_{2 t}^{' 2}) = \frac{1}{2} m_{1} (V_{1 n}^{2} + V_{1 t}^{2}) + \frac{1}{2} m_{2} (V_{2 n}^{2} + V_{2 t}^{2})

この等式はその変形の傾向に一致する２つのボールの回復能力を示唆します。

この条件はエネルギー損失のない弾性衝撃の１つに等しくなります。系のエネルギーの維持は次のように与えられます：

(V_{2 n}^{'} - V_{1 n}^{'}) = - (V_{2 n} - V_{1 n})

この関係は、相対速度の法線方向成分は弾性衝撃の間に、その逆に変化することを意味しています（反発係数値は単位の値に等しいため）。

法線方向成分に対して以下の式がチェックされる必要があります：

\begin{array}{l} V_{2 n}^{'} = V_{1 n}^{'} = - (V_{2 n} - V_{1 n}) \\ m_{2} V_{2 n}^{'} + m_{1} V_{1 n}^{'} = m_{2} V_{2 n} + m_{1} V_{1 n} \end{array}

V'₁とV'₂を未知量として用いる系の方程式は、簡単に解くことができます：

\begin{array}{l} V_{2 n}^{'} = (\frac{m_{2} - m_{1}}{m_{2} + m_{1}}) V_{2 n} + (\frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}}) V_{1 n} \\ V_{1 n}^{'} = (\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}) V_{1 n} + (\frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}}) V_{2 n} \end{array}

これらの関係は質量の比に依存することにご留意ください。

ボールはt方向については速度変化に悩まされることはないので、それぞれの球の速度の接線成分は維持され、以下が得られます：

\begin{array}{l} V_{1 t}^{'} = V_{1 t} = V_{1} \cos θ_{1} \\ V_{2 t}^{'} = V_{2 t} = V_{2} \cos θ_{2} \end{array}

衝撃の後の速度のノルムはその結果以下の関係式となります。

V_{1}^{'} = {({(V_{1 n}^{'})}^{2} + {(V_{1 t}^{'})}^{2})}^{1 / 2}

V_{2}^{'} = {({(V_{2 n}^{'})}^{2} + {(V_{2 t}^{'})}^{2})}^{1 / 2}

この例題では、ホールは同じ質量を持ち： m₁ = m₂

したがって、 $V_{2}^{'} = V_{1 n}$ および $V_{1 n}^{'} = V_{2 n}$

速度のノルムは以下の関係を用いて与えられ、初速度と角度に依存します。解析解を決めるために用いられます（衝突後の角度と速度）：

V_{1}^{'} = {({(V_{2})}^{2} \sin^{2} θ_{2} + (V_{1}) \cos^{2} θ_{1})}^{1 / 2}

V_{2}^{'} = {({(V_{1})}^{2} \sin^{2} θ_{1} + (V_{2}) \cos^{2} θ_{2})}^{1 / 2}

速度の投影を記録することにより、衝撃後の方向は関係式（9）を用いて評価できます。解析解を決めるために用いられます（衝突後の角度と速度）：

θ_{1}^{'} = \arcsin (\frac{V_{2}}{V_{1}} \sin θ_{2})

θ_{2}^{'} = \arcsin (\frac{V_{1}}{V_{2}} \sin θ_{1})

結果

数値結果の解析解との比較

図 6 は数値シミュレーションを用いて得られた衝突前と後のボールの中心点の軌跡を示します。

rad_ex_fig_9-17 — 図 7. 速度変化 $V_{i} = \sqrt{\frac{2 K E_{i}}{m a s s_{i}}}$ （40 msで衝突）

与えられた初期値

V_{1}

、

V_{2}

_、

θ

₁、

θ

2に対する、シミュレーション結果を表 1に記します。

表 1. 衝突後の結果の比較
	数値解析結果	解析解
$θ$ ₁	42.27°	44.72°
$θ$ ₂	26.75°	26.48°
V _1'	0.731 m/s	.731 m/s
V _2'	0.969 m/s	0.977 m/s

まとめ

シミュレーションが解析解で検証されています。16節点厚肉シェル要素は完全積分要素でアワグラスエネルギーはありません。このモデル化は良い運動量の伝達をもたらします。しかしながら、TYPE16インターフェースは節点と厚肉シェルの接触であるためにセカンダリ側（ボール2）の２次曲面を考慮しません。正確な結果は、球体間の衝撃を裏付けるためセカンダリ側の２次曲面への貫通のない衝突により得られます。

メッシュを細かくすることで結果は改良されるかもしれません。