単軸疲労解析

周期荷重を受ける構造の寿命（荷重サイクル数）を予測する単軸疲労解析が、S-N（応力-寿命）、E-N（ひずみ-寿命）アプローチを用いて、OptiStructで実行できます。

応力-寿命法は、構造の応力レベルがほとんど弾性範囲に収まる際の疲労寿命予測に機能します。このような繰り返し荷重条件の下では、構造は一般的に多数の荷重サイクルに耐えることができ、これは高サイクル疲労として知られています。繰り返しによるひずみが塑性範囲まで延びた場合、構造の疲労耐久性は著しく低下し、これは低サイクル疲労として特性づけられます。高サイクルと低サイクル疲労の間の一般的に受け入れられている境界点はおよそ10,000荷重サイクルぐらいになります。低サイクル疲労では、ひずみ-寿命 (E-N) 法が適用され、塑性ひずみがダメージ計算の重要な因子として考慮されます。

疲労解析が実行されるモデルのセクションは、FATDEFバルクデータエントリで特定される必要があります。適当なFATDEFバルクデータエントリが疲労サブケース定義からFATDEFサブケース情報エントリを通して参照される必要があります。

応力-寿命（S-N）アプローチ

S-N曲線

S-N曲線は、最初にWöhlerによって開発され、応力と破壊のサイクル数との関係が定義されます。一般的に、材料S-N曲線 (およびその他の疲労特性) は、完全反転の回転曲げ試験を通して、実験から得られます。通常実験結果には大きなばらつきを伴うため、データの統計的な特徴づけが必要になります(曲線の標準の誤差によるS-N曲線の修正には耐久確実性が用いられ、より高い信頼性レベルにはより大きな耐久確実性を必要とします)。

S-N実験データが、公称応力の大きさ

S_{a}

または範囲

S_{R}

のどちらかに対する破壊のサイクル数

N

が共に対数でプロットされると、その

S

と

N

の関係は直線のセグメントで記述できます。通常、1つまたは2つのセグメントでの理想化が用いられます。

S = S 1 {(N_{f})}^{b 1}

セグメント1に対して

ここで、 $S$ 公称応力のレンジ、 $N_{f}$ は破壊する疲労サイクル、 $b_{l}$ は最初の強度指数、 $S I$ は疲労強度指数です。

S-N アプローチは弾性的な繰り返し荷重に基づき、S-N 曲線は寿命軸上の、1000 サイクル以上の数の範囲にあるはずとの推定に基づいています。このことは大きな塑性は起こらない、ということを保証します。これは一般に高サイクル疲労と言われます。

与えられた材料のS-N曲線は、MATFATバルクデータエントリで用意します。これは、構造材料定義で共有される材料ID (MID) を介して参照されます。

等価相当応力

S-N 理論は単軸応力を扱うため、それぞれの計算点、それぞれの時間ステップにおける応力成分は１つの統合された値にする必要があり、そこで、等価な公称応力が用いられ、S-N 曲線に適用されます。

さまざまな応力の組み合わせタイプが利用可能で、デフォルトは “Absolute maximum principal stress （絶対値最大の主応力）”です。脆性材料には "Absolute maximum principal stress"が推奨されますが、延性材料には"Signed von Mises stress"が推奨されます。符号付きパラメータの符号には最大絶対値主値の符号が用いられます。

応力の組み合わせに関係するパラメータは、FATPARMバルクデータエントリで定義できます。疲労サブケース定義からFATPARMサブケース情報エントリを通して、適切なFATPARMバルクデータエントリを参照することができます。

平均応力補正

一般的に S-N 曲線は完全反転の繰り返し荷重の標準の試験から得られます。しかし、本来の疲労荷重は、完全なものではなく、平均応力は部品の疲労性能上で大きな影響を与えます。疲労強度に関して引張りの軸平均応力は有害ですが、圧縮の軸平均応力は有益です。平均応力修正は0でない平均応力の影響を考慮するために用いられます。

Haigh'座標のGerber放物線とGoodman線が平均応力の影響を考慮する際に広く用いられており、これらは次のように表すことができます:

Gerber：

S_{e} = \frac{S_{r}}{(1 - {(\frac{S_{m}}{S_{u}})}^{2})}

Goodman：

S_{e} = \frac{S_{r}}{(1 - \frac{S_{m}}{S_{u}})}

ここで、

$S_{m}$: 下記で与えられる平均応力； $S_{m} = (S_{m a x} + S_{m i n}) / 2$
$S_{r}$: 下記で与えられる応力範囲； $S_{r} = S_{m a x} - S_{m i n}$
$S_{e}$: 平均応力補正後の応力範囲（応力範囲には $S_{r}$ 、平均応力には $S_{m}$ ）
$S_{u}$: 最大強度

Gerber法では正と負の平均応力修正を平均応力が疲労破壊を加速するものとして同じ方法で取り扱うのに対し、Goodman法は負の平均応力を無視します。どちらの方法とも圧縮平均応力に対して保守的な結果を与えます。Goodman法は脆性材料に対して推奨されるのに対し、Gerber法は延性材料に対して推奨されます。Goodman法では、引張り平均応力が UTSより大きい場合、損傷は1.0より大きくなります。Gerber法では、平均応力がUTSより大きい場合、引張または圧縮のいずれでも、損傷は1.0より大きくなります。

Haigh図は与えられた破壊のサイクル数に対する異なる応力振幅と平均応力の組み合わせを特徴づけします。

平均応力の影響に関係するパラメータは、FATPARMバルクデータエントリで定義できます。疲労サブケース定義からFATPARMサブケース情報エントリを通して、適切なFATPARMバルクデータエントリを参照することができます。

FKm:

平均応力補正にMSS2フィールドのみが指定されている場合、平均応力補正のための対応する平均応力感度値（

M

）はMSS2と等しくなるよう設定されます。FKM-Guidelinesに基づき、Haigh図は応力比（

R = S_{\min} / S_{\max}

）の値をベースに4つのレジームに分割されます。続いて、補正値を使って損傷および寿命計算ステージのためにS-Nカーブが選択されます。

注: 以下のFKM式は、補正応力振幅（

S_{e}^{A}

）の計算を示します。損傷計算に使用される実際の応力の値は、補正応力範囲（

2 \cdot S_{e}^{A}

）です。これらの式はMATFATエントリ上でSNカーブに適用されます（デフォルトでは、応力比R=-1.0の場合、ユーザー定義のSNカーブが入力されることが期待される）。応力比がR=0.0である際にSNカーブが入力されるスポット溶接解析に適用されるFKM式については、以下のスポット溶接セクションをご参照ください。

OptiStructにおけるFKM補正には2つのオプションが使用でき、それらはFATPARMエントリでUCORRECTをFKM/FKM2に、もしくはMCORRECT(MCi)フィールドをFKMに設定することでアクティブ化されます。

MSS2のみが定義されており、FATPARMのMCORRECT(MCi)がFKMに設定されている場合：

Regime 1 (R > 1.0): $S_{e}^{A} = S_{a} (1 - M)$
Regime 2 (-∞ ≤ R ≤ 0.0): $S_{e}^{A} = S_{a} + M * S_{m}$
Regime 3 (0.0 < R < 0.5): $S_{e}^{A} = (1 + M) \frac{S_{a} + (\frac{M}{3}) S_{m}}{1 + \frac{M}{3}}$
Regime 4 (R ≥ 0.5): $S_{e}^{A} = \frac{3 S_{a} {(1 + M)}^{2}}{3 + M}$

ここで、

$S_{e}^{A}$: 平均応力補正後の応力振幅（耐久応力）
$S_{m}$: 平均応力
$S_{a}$: 応力振幅

MSS2のみが定義されており、FATPARMのUCORRECTがFKM2に設定されている場合：

Regime 1 (R > 1.0)かつRegime 4 (R ≥ 0.5): 平均応力補正は適用されません $M = 0.0$
Regime 2 (-∞ ≤ R ≤ 0.0): $S_{e}^{A} = S_{a} + M * S_{m}$
Regime 3 (0.0 < R < 0.5): $S_{e}^{A} = (1 + M) \frac{S_{a} + (\frac{M}{3}) S_{m}}{1 + \frac{M}{3}}$

ここで、

$S_{e}^{A}$: 平均応力補正後の応力振幅（耐久応力）
$S_{m}$: 平均応力
$S_{a}$: 応力振幅
$M$: MSS2に等しい。

平均応力補正について4つすべてのMSSiフィールドが指定されている場合、対応する平均応力感度値は4つすべてのレジュームを制御する勾配です。FKM-Guidelinesに基づき、Haigh図は応力比（ $R = S_{\min} / S_{\max}$ ）の値をベースに4つのレジームに分割されます。続いて、補正値を使って損傷および寿命計算ステージのためにS-Nカーブが選択されます。

OptiStructにおけるFKM補正には2つのオプションが使用でき、それらはFATPARMエントリでUCORRECTをFKM/FKM2に、かつ、MCORRECT(MCi)フィールドをFKMに設定することでアクティブ化されます。

4つすべてのMSSiが定義されており、FATPARMのMCORRECT(MCi)がFKMに設定されている場合：

Regime 1 (R > 1.0): $S_{e}^{A} = (S_{a} + M_{1} S_{m}) ((1 - M_{2}) / (1 - M_{1}))$
Regime 2 (-∞ ≤ R ≤ 0.0): $S_{e}^{A} = S_{a} + M_{2} S_{m}$
Regime 3 (0.0 < R < 0.5): $S_{e}^{A} = (1 + M_{2}) \frac{S_{a} + M_{3} S_{m}}{1 + M_{3}}$
Regime 4 (R ≥ 0.5): $S_{e}^{A} = (S_{a} + M_{4} S_{m}) (((1 + 3 M_{3}) (1 + M_{2})) / ((1 + 3 M_{4}) (1 + M_{3})))$

ここで、

$S_{e}^{A}$: 平均応力補正後の応力振幅（耐久応力）
$S_{m}$: 平均応力
$S_{a}$: 応力振幅
$M_{i}$: MSSiに等しい。

4つすべてのMSSiが定義されており、FATPARMのUCORRECTがFKM2に設定されている場合：

Regime 1 (R > 1.0)かつRegime 4 (R ≥ 0.5): 平均応力補正は適用されません
Regime 2 (-∞ ≤ R ≤ 0.0): $S_{e}^{A} = S_{a} + M_{2} S_{m}$
Regime 3 (0.0 < R < 0.5): $S_{e}^{A} = (1 + M_{2}) \frac{S_{a} + M_{3} S_{m}}{1 + M_{3}}$

ここで、

$S_{e}^{A}$: 平均応力補正後の応力振幅（耐久応力）
$S_{m}$: 平均応力
$S_{a}$: 応力振幅
$M_{i}$: MSSiに等しい。

スポット溶接解析については、デフォルトのS-Nカーブが使用されるか、SPWLD継続行のRが0.0 に、UCORRECTがFKMに設定されている場合、以下のFKM式が使用されます：

Regime 1 (R > 1.0): $S_{e}^{A} = (S_{a} + M_{1} S_{m}) ((1 - M_{2}) / ((1 + M_{2}) (1 - M_{1})))$
Regime 2 (-∞ ≤ R ≤ 0.0): $S_{e}^{A} = (S_{a} + M_{2} S_{m}) / (1 + M_{2})$
Regime 3 (0.0 < R < 0.5): $S_{e}^{A} = \frac{S_{a} + M_{3} S_{m}}{1 + M_{3}}$
Regime 4 (R ≥ 0.5): $S_{e}^{A} = (S_{a} + M_{4} S_{m}) ((1 + 3 M_{3}) / ((1 + 3 M_{4}) (1 + M_{3})))$

損傷加算モデル

Palmgren-Minerの線形損傷総和則が用いられます。以下の時に破壊が予測されます:

\sum D_{i} = \sum \frac{n_{i}}{N_{i f}} \geq 1.0

ここで、

$N_{i f}$: ある応力の大きさの組み合わせと平均応力レベル $i$ におけるS-N曲線からの材料の疲労寿命（破壊のサイクル数）。
$n_{i}$: 荷重レベル $i$ における応力のサイクル数。
$D_{i}$: $n_{i}$ 荷重サイクルにおける累積ダメージです。

線形損傷総和則は、周期疲労荷重による損傷の加算で荷重順序の効果を考慮しません。しかしながら、多くの応用でうまく機能することが実証されてきています。

疲労解析の安全係数出力

安全係数は、目標応力振幅と、応力履歴で検出された1サイクルの応力振幅の比率です。安全係数は、SN疲労解析中に計算できます。つまり、この係数は応力に基づいています。目標応力振幅は、なんらかの理由でSN曲線を調整した後、FATPARMで定義された目標寿命から求められます。

OptiStructは、レインフローサイクルカウントの際に計算された安全係数のうち、最小の安全係数を報告します。最小の安全係数が1より大きい場合、構造は応力履歴下で安全と見なされます。OptiStructは、一定平均応力または一定応力比を使用して安全係数を計算します。安全係数は、現在、SNベースの金属疲労解析でのみサポートされています。安全係数は、目標応力（目標寿命では、FATPARMバルクデータエントリのFOSにあるTGLIFEフィールド）と、作用する応力履歴の応力振幅に基づいて計算されます。OptiStructでは、疲労解析で以下の安全係数出力をサポートしています。

一定平均応力ラインの安全係数（FATPARMバルクデータエントリのFOSでMETHOD=CM）
一定応力比ラインの安全係数（FATPARMバルクデータエントリのFOSでMETHOD=CR）
安全率の倍率（FATPARMバルクデータエントリのFOSでMETHOD=SCALE）

安全係数出力を生成するには、FOS入出力オプションを定義する必要があります。安全係数は、疲労解析がSN疲労解析である場合に出力されます。多軸SN解析の場合、平面検索の際に最小の安全係数が採用されます。したがって、最小の安全係数は臨界面から採用されるとは限りません。

一定平均応力手法

製造プロセスに起因する残差応力が平均応力よりはるかに大きい場合、その残差応力は損傷計算で支配的になります。この場合、安全係数の計算には、一定平均応力手法が適しています。安全係数の計算において、平均応力は一定に維持されます。

GoodmanまたはSoderberg

安全係数の計算は、次のように行われます：

S F = \frac{s}{σ_{a}} = \frac{s_{e}}{σ_{a_{0}}}

ここで、

$s_{e}$: 修正されたSN曲線から決定される目標寿命に対応する目標応力振幅。
$σ_{a_{0}}$: 平均応力補正後の応力振幅。
$σ_{a}$: 応力振幅。

Gerber

安全係数は、次のように計算されます：

S F = \frac{s}{σ_{a}} = \frac{s_{e}}{σ_{a_{0}}}

ここで、

$s_{e}$: 修正されたSN曲線から決定される目標寿命に対応する目標応力振幅。
$σ_{a_{0}}$: 平均応力補正後の応力振幅。

Gerber2

安全係数は、次のように計算されます：

次の場合；

σ_{m} > 0

S F = \frac{s}{σ_{a}} = \frac{s_{e}}{σ_{a_{0}}}

σ_{m} \leq 0

の場合、

S F = \frac{s_{e}}{σ_{a}}

ここで、

$s_{e}$: 修正されたSN曲線から決定される目標寿命に対応する目標応力振幅。
$σ_{a_{0}}$: 平均応力補正後の応力振幅。
FKM: 安全係数は、次のように計算されます：
$S F = \frac{s'_{e}}{σ_{a}}$; ケース1：
$\begin{array}{l} σ_{m} < \frac{- s_{e}}{1 - m_{2}} \\ s'_{e} = - m_{1} (σ_{m} + \frac{s_{e}}{1 - m_{2}}) + \frac{s_{e}}{1 - m_{2}} \end{array}$; ケース2：
$\begin{array}{l} \frac{- s_{e}}{1 - m_{2}} \leq σ_{m} < \frac{s_{e}}{1 + m_{2}} \\ s'_{e} = - m_{2} σ_{m} + s_{e} \end{array}$; ケース3：
$\begin{array}{l} \frac{s_{e}}{1 + m_{2}} \leq σ_{m} < \frac{3 (1 + m_{3})}{1 + 3 m_{3}} \cdot \frac{s_{e}}{1 + m_{2}} \\ s'_{e} = - m_{3} (σ_{m} - \frac{s_{e}}{1 + m_{2}}) + \frac{s_{e}}{1 + m_{2}} \end{array}$; ケース4：
$\begin{array}{l} \frac{3 (1 + m_{3})}{1 + 3 m_{3}} \cdot \frac{s_{e}}{1 + m_{2}} \leq σ_{m} \\ s'_{e} = - m_{4} (σ_{m} - \frac{3 (1 + m_{3})}{1 + 3 m_{3}} \cdot \frac{s_{e}}{1 + m_{2}}) + \frac{1}{3} (\frac{3 (1 + m_{2})}{1 + 3 m_{3}} \cdot \frac{s_{e}}{1 + m_{2}}) \end{array}$

平均応力補正なし

安全係数は、次のように計算されます：

S F = \frac{s_{e}}{σ_{a}}

一定応力比手法

製造プロセスに起因する残差応力が小さく、損傷計算において加えられた応力履歴が支配的である場合は、一定応力比手法が適しています。

Goodman

安全係数は、次のように計算されます：

S F = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{(\frac{σ_{a}}{s_{e}} + \frac{σ_{m}}{U T S})}

Gerber

安全係数は、次のように計算されます：

σ_{m} = 0

の場合、

S F = \frac{s_{e}}{σ_{a}}

σ_{m} \neq 0

の場合、

S F = \frac{1}{2} {(\frac{U T S}{σ_{m}})}^{2} \cdot \frac{σ_{a}}{s_{e}} [- 1 + \sqrt{1 + {(\frac{2 s_{e} σ_{m}}{U T S \cdot σ_{a}})}^{2}}]

Gerber2

安全係数は、次のように計算されます：

σ_{m} \leq 0

の場合、

S F = \frac{s_{e}}{σ_{a}}

σ_{m} \geq 0

の場合、

S F = \frac{1}{2} {(\frac{U T S}{σ_{m}})}^{2} \cdot \frac{σ_{a}}{s_{e}} [- 1 + \sqrt{1 + {(\frac{2 s_{e} σ_{m}}{U T S \cdot σ_{a}})}^{2}}]

FKM

安全係数は、次のように計算されます：

S F = \frac{s_{e}}{σ_{a_{0}}}

ここで：

$σ_{a_{0}}$: 定数R平均応力補正において修正された応力振幅

平均応力補正なし

安全係数は、次のように計算されます：

S F = \frac{s_{e}}{σ_{a}}

スケーリング手法

安全率の倍率は、次のように計算されます：

損傷計算の応力 = 安全率の倍率 x 組み合わせ応力

応力スケーリングとオフセット（MATFATのSTRESS継続行のSCALEとOFFSET）が定義されている場合：

損傷計算の応力 = 安全率の倍率 x （組み合わせ応力 x MATFATスケールファクター + MATFATオフセット）

指定のイベントおよび目標寿命に対しては、OptiStructが目標寿命に合う安全率の倍率を見つけます。現在の寿命が目標寿命より短い場合、安全率の倍率は1より小さくなります。

現在の寿命が目標寿命より長い場合、安全率の倍率は1より大きくなります。安全率の倍率は、EN、SN、シーム溶接、およびスポット溶接の時間領域疲労解析でサポートされています。DangVanではサポートされていません。

複数のSN曲線の安全係数

複数のSN曲線が（SNTBL継続行を介して）定義されている場合、安全係数の計算には次のプロセスが使用されます。

複数平均SN曲線

安全係数を計算するため、OptiStructはその目標寿命での応力振幅-平均応力のペアを求めることにより、複数平均SN曲線を使用して、内部的な目標寿命のHaigh図を作成します。OptiStructでは、内部的に作成されたHaigh図を使用して、Haigh図の章で説明している方法により安全係数を計算します。Haigh図のデータポイントの数は、曲線の数となります。したがって、提供される曲線が多いほどより良い結果が得られます。平均応力範囲でのHaigh図が入手できない場合、Haigh図はOptiStructによって外挿されます。

複数比SN曲線

安全係数を計算するため、OptiStructはその目標寿命での応力振幅-平均応力のペアを求めることにより、複数平均SN曲線を使用して、内部的な目標寿命のHaigh図を作成します。Haigh図のデータポイントの数は、曲線の数となります。したがって、曲線が多いほどより良い結果が得られます。平均応力範囲でのHaigh図が入手できない場合、Haigh図はOptiStructによって外挿されます。

Haigh図

安全係数は、次のように計算されます：

目標寿命が100000の場合：

一定応力比： SF = OB/OA
一定平均： SF = OD/OC

目標寿命のHaigh図が定義されていない場合は、OptiStructがその目標寿命のHaigh図を作成します。図 11において、目標寿命が10000で、N=10000のHaigh図が定義されていない場合、OptiStructは安全係数を計算するため、N=10000に対応するHaigh図（破線）を作成します。

ひずみ-寿命（E-N）アプローチ

ひずみ-寿命解析は、切欠きの根元のような多くの重大な場所では応力集中を伴うという事実に基づいており、そしてこれらは疲労破壊に達する前の周期荷重の間に明らかな塑性変形を伴います。このため、弾塑性ひずみの結果がひずみ-寿命解析の実行に不可欠になります。

Neuber補正

Neuber補正は弾性ひずみの結果を弾塑性の結果に補正する最も有名な手法です。

公称応力から局所応力を簡単に得るため、局所応力集中係数 $K_{σ}$ 、および局所ひずみ集中係数 $K_{ε}$ のような集中係数が導入されます。

K_{σ} = σ / S

K_{ε} = ε / e

ここで、 $σ$ は局所応力、 $ε$ は局所ひずみ、 $S$ 公称応力、 $e$ は公称ひずみです。応力と局所応力の両方が弾性の場合、局所応力集中係数は局所ひずみ集中係数と等しくなります。しかし塑性ひずみが存在すると、 $K_{σ}$ と $K_{ε}$ の間の関係はもはや保たれません。その後、この状況に焦点を当て、Neuberは理論的に以下のように定義される弾性応力集中係数 $K_{t}$ は次のように定義されます：

K_{t}^{2} = K_{σ} K_{ε}

式 22と式 23を式 24に代入すると、理論応力集中係数 $K_{t}$ は次のように書き直されます：

K_{t}^{2} = (\frac{σ}{S}) (\frac{ε}{e})

線形静的FEAを通して、公称応力の代わりに局所応力が得られ、そして式 25に含まれる形状の影響は除去できます。それ故、 $K_{t}$ は1とすることができ、式 25は次のように書き直されます：

σ ε = σ_{e} ε_{e}

ここで、 $σ_{e}$ 、 $ε_{e}$ は弾性解析で得られる局所弾性応力と局所弾性ひずみで、 $σ$ 、 $ε$ は塑性ひずみが存在するときの応力とひずみです。 $σ$ と $ε$ は、周期応力-ひずみ曲線とヒステリシスループのための式と共に式 26から計算できます。

単調増加の応力-ひずみ挙動

現在の形状と比較して、真応力と真ひずみの関係式は次のように定義できます：

σ = P / A

ε = \int_{l}^{l} \frac{d l}{l} = \ln (1 + \frac{l - l_{0}}{l_{0}})

ここで、 $A$ は現在の断面積、 $l$ は現在の試験体の長さ、 $l_{0}$ は試験体の初期長さ、 $σ$ と $ε$ はそれぞれ真応力と真ひずみで、図 12は真応力-真ひずみ空間での単調増加の応力-ひずみ曲線を示します。全ての過程において、試験体がCで破壊するまで応力は増加し続けます。

図 12は2つの代表的なセグメントからなっています、即ち弾性セグメントOAと塑性セグメントACです。セグメント OA では応力と弾性ひずみ間の関係はHooke 則に従い、線形関係を保ちます。

σ = E ε_{e}

ここで、 $E$ は弾性係数、 $ε_{e}$ は弾性ひずみです。関係式は次のように書き直すことができ：

ε_{e} = σ / E

弾性ひずみは応力の項として表現することができます。ほとんどの材料では、塑性ひずみと応力の関係は単純な指数則の形で表現することができます：

σ = K {(ε_{p})}^{n}

ここで、 $ε_{p}$ は塑性ひずみ、 $K$ は強度係数、 $n$ は加工硬化係数です。同様に、塑性ひずみも応力の項として書き表すことができます:

ε_{p} = {(\frac{σ}{K})}^{1 / n}

試験体に載荷して生ずる点BまたはDまでの全ひずみは、塑性ひずみと弾性ひずみの合計になります：

ε = ε_{e} + ε_{p} = \frac{σ}{E} + {(\frac{σ}{K})}^{1 / n}

繰り返し応力-ひずみ曲線

単調な荷重と比較して繰り返し荷重下では材料は異なる挙動を示します。一般的に、これらには4種類の応答があります。

安定状態
周期硬化
周期軟化
ひずみレンジによって軟化または硬化

どの応答が起こるかはその本来の物性や熱処理の初期条件に依存します。図 13 は2つの異なる材料の最初の2回のヒステリシスループでの繰り返し硬化と繰り返し軟化の効果を示しています。両方のケースでひずみは固定のレンジ内の変化に固定されており、応力は任意に変化できるようになっています。図 13の上部に示すように、固定された応力レンジの下で、前のサイクルに比べてひずみレンジが増加する場合、これは周期硬化と呼ばれます。反対は、図 13下部に示すように周期軟化となります。材料の繰り返し応答は、応力レンジを指定し、ひずみを固定しない状態にすることで表すこともできます。固定された応力レンジの下で、前のサイクルに比べてひずみレンジが増加する場合、これは周期軟化と呼ばれます、反対は周期硬化となります。実際、材料の周期的な挙動は、材料の総寿命の10%未満を占める短い時間が経過すると定常状態になります。異なるひずみレンジを指定した場合でも、定常状態の一連のヒステリシスループを得ることができます。図 14に示すように、これらのヒステリシスループを１つの座標に置き、これらのヒステリシスループの頂点を結ぶと単調な載荷の応力-ひずみ曲線と同様の繰り返しの応力-ひずみ曲線を次のように決定することができます：

ε = ε_{e} + ε_{p} = \frac{σ}{E} + {(\frac{σ}{K^{'}})}^{1 / n^{'}}

ここで、

$K^{'}$: 繰り返し強度係数
$n^{'}$: ひずみ周期硬化指数

ヒステリシスループの形状

Bauschingerは塑性ひずみを生ずる初期荷重の後、荷重の反転で材料が異方性を示すことを提示しました。実験的な証拠に基づき、 Massingは応力-ひずみのヒステリシスループは応力ひずみ曲線と形状は同様になるものの2倍の大きさになると仮定を進めています。これは量（ $Δ ε, Δ σ$ ）が（ $ε, σ$ ）の２倍であるとき、応力ひずみサイクルがヒステリシスループに乗ることを意味しています。これは次の式で表すことができます:

Δ σ = 2 σ

Δ ε = 2 ε

$σ$ をΔσの項で、 $ε$ をΔεの項で表し、それを式 34に代入すると、ヒステリシスループの式が次のように導き出されます：

Δ ε = \frac{Δ σ}{E} + 2 {(\frac{Δ σ}{2 K'})}^{1 / n'}

およそ1世紀前、Basquinは応力が限られているとき、応力と疲労寿命の間に対数スケールで線形関係にあることを示しました。彼は、応力によってコントロールされる次の式を提案しています：

σ_{a} = σ'_{f} {(2 N_{f})}^{b}

ここで、 $σ_{a}$ は応力振幅、 $σ_{f}^{'}$ は疲労強度係数、 $b$ は疲労強度指数です。1950年代後半、CoffinとMansonがひずみも疲労寿命に単純な指数則で関連づけられることをそれぞれ個別に提案しました：

ε_{a}^{p} = ε'_{f} {(2 N_{f})}^{c}

ここで、 $ε_{a}^{p}$ は塑性ひずみ振幅、 $ε'_{f}$ は疲労延性係数、 $c$ は疲労延性指数です。MorrowはBasquin、Coffin、Mansonの業績を統合し、弾性ひずみと塑性ひずみの両方の疲労寿命への寄与を考慮しました。彼は、全ひずみが疲労寿命に対してより直接的に相関することを発見しました。Hooke則を用いると、Basquin則は次のように書き直すことができます:

ε_{a}^{e} = \frac{σ_{a}}{E} = \frac{σ'_{f}}{E} {(2 N_{f})}^{b}

ここで、 $ε_{a}^{e}$ は弾性ひずみ振幅です。全ひずみ振幅は、弾性ひずみと塑性ひずみの合計として、それ故、Basquinの式とCoffin-Mansonの式を適用することにより記述することができます：

ε_{a} = ε_{a}^{e} + ε_{a}^{p} = \frac{σ'_{f}}{E} {(2 N_{f})}^{b} + ε'_{f} {(2 N_{f})}^{c}

ここで、

ε_{a}

は全ひずみ振幅で、他の変数は上と同じです。

平均応力補正

実際には平均応力は避けられないにもかかわらず、実験室での疲労試験は常に完全反転で実施されます、このため、完全反転の実験で確立された疲労則は工学問題に適用される前に補正される必要があります。

Morrow：

Morrowは最初に平均応力 $σ_{0}$ を疲労強度に導入することにより、次のように平均応力の影響を考慮しています：

ε_{a}^{e} = \frac{(σ'_{f} - σ_{0})}{E} {(2 N_{f})}^{b}

したがって、疲労寿命の式全体は次のようになります：

ε_{a}^{} = \frac{(σ'_{f} - σ_{0})}{E} {(2 N_{f})}^{b} + ε_{f}^{'} {(2 N_{f})}^{c}

Morrowの式は、低い塑性ひずみでは平均応力の影響が顕著で、高い塑性ひずみでは小さいという考察に一致しています。

Smith、Watson、Topper：

Smith、WatsonとTopperは1サイクルの間の最大応力を考慮して平均応力の影響を算出する別の方法を提案しました（以下、この方法を以下SWTと呼びます）。この場合、損傷パラメータは1サイクルでの最大応力とひずみレンジの積として補正されます。

ε_{a}^{S W T} σ_{\max} = ε_{a} σ_{a} = σ_{a} (\frac{σ'_{f}}{E} {(2 N_{f})}^{b} + ε'_{f} {(2 N_{f})}^{c})

SWT法では最大応力が0または負の時、損傷は0と予測することになりますが、これは現実と一致しません。

2つの方法を比較すると、SWT法は荷重で引張りが大部分の場合、保守的な寿命を予測するのに対し、Morrowのアプローチは荷重で圧縮が支配的な場合にも現実的な結果をもたらします。

損傷加算モデル

E-Nアプローチでは、S-Nアプローチと同じ損傷加算モデルを用いるものとし、Palmgren-Minerの線形総和則が用いられます。

Bergmann

Bergmann法は、材料の平均応力感度を考慮するためにパラメータ ‘a’を導入したSWTの拡張です。

ε_{a} σ_{\max} = ε_{a} σ_{a} = σ_{a} (\frac{σ_{f}^{'}}{E} {(2 N_{f})}^{b} + ε_{t}^{'} {(2 N_{f})}^{c})

ここで、

σ_{\max} = σ_{a} + a

aはBergmann定数。